以問題為支架培養核心素養的教學設計

劉潔欣

【摘要】文章以“等比數列的概念及其通項”教學設計為例，通過以問題為支架，引導學生進行思考，體會知識的形成過程，理解知識的本質內容，掌握和鞏固知識，從而提高學生學習的積極性，提高學生提出問題和解決問題的能力，提升學生學科核心素養能力。

【關鍵詞】等比數列定義? ?問題支架? ?核心素養? ?教學設計

【中圖分類號】G633.6

【文獻標識碼】A

【文章編號】1992-7711（2020）31-133-02

一、內容和內容解析

（一）教學內容

高中數學人教A版教材《數學5》（必修）第二章“數列”的第四節等比數列的第一課時“等比數列的概念及其通項”。

（二）教學內容分析

教材地位：數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。等比數列是學生學習了等差數列之后的另一特殊數列，在購房貸款、人口增長、存款利息，資產折舊等計算問題上有著廣泛的運用。

教學任務：本節課是學生已經學習了等差數列的基礎上，讓學生通過類比，辨析學習等比數列，并且歸納等比數列的通項公式。一方面培養了學生類比推理能力。

（三）目標和目標解析

（一）目標

①理解和掌握等比數列的概念、等比中項

②理解等比數列通項的推導過程，能夠熟練的掌握并且運用

③實際問題抽象出等比數列的模型

（二）目標解析

①學生通過類比等差數列，理解等比數列的概念和通項公式，知道等比數列的形成過程，達到對學生邏輯推理的數學核心素養的培養

②學生通過等比數列舉例，由特殊到一般，培養數學抽象核心素養

③學生通過實際問題，能夠抽象出等比數列的數學模型，培養學生數學建模的素養

④學生通過例題的分析，能夠熟練的掌握并且運用知識解決問題，培養學生的運算素養。

二、教學問題診斷分析

雖然學生已經學習了等差數列的相關知識，有了學習等比數列的起點。但等比數列的計算過程涉及指數冪的運算，由于筆者所在學校學生計算能力差，這應該會使得在通項公式推導和運用過程中浪費過多的時間在計算上。而且學生會受到等差數列知識結構的固化，而錯誤的理解等比數列的本質特征，這為本節課問題的設計提供了條件。筆者認為在教學過程中要注意等差數列與等比數列的聯系與區別。

三、教學重點和教學難點

教學重點是等比數列的概念及通項公式;教學難點是等比數列通項公式的推導過程和運用。

教學過程設計

環節1? 復習引入 溫故知新

請同學們回憶等差數列學習了什么內容？

師生活動：由學生寫出等差數列的定義、通項公式、性質

環節2? 設計問題支架，構建新知

問題1? 類比等差數列定義說說等比數列的定義，并用數學符號表示。

教師追問1：等差數列中的公差d可正可負也可以為零，那么等比數列的公比q是否可正可負也可以為零呢，如果可以請舉例說明，如果不可以請說明原因？

學生活動：學生舉例q>0，q<0，q=o

設計意圖：類比等差數列的定義，理解等比數列的定義，并讓學生理解等比數列的本質公比q的取值范圍q≠0，培養學生的類比推理和辨析能力。

教師追問2：當q>0，q<0，時這個等比數列是怎樣的數列？是不是q>0數列為遞增數列？

師生活動：學生通過上面列舉的具體例子發現公比q>0可以分為q>1、0

當? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時，等比數列{an}是遞增數列

當? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時，等比數列{an}是遞減數列

當? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時，等比數列{an}是常數列

當? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?時，等比數列{an}是擺動數列

教師追問3：是否存在既是等差又是等比的數列？如果存在，是具有怎樣特征的數列？

設計意圖：通過觀察，揭示概念的本質和內涵，加深學生對概念的進一步理解，激發學生學習新知識的欲望。

教師追問4：數列1，x，x2，x3，…，xn：是等比數列嗎？如果是，公比和首項各是多少？

設計意圖：培養學生的辨析能力，加深培養學生遇到未知數，要進行分類討論的習慣。

教師追問5：已知在數列{an}中，有an=2an-1，這個數列是等比數列嗎？如果有an+1+? ? an=0呢？，如果an+1-3an=1有呢？

設計意圖：使學生明白是一個數列是等比數列的依據來自于它的定義，學會構造等比數列定義的模式? ? ? ? =q或者? ? ? =q（q≠0），為后面數列通項公式的學習做好鋪墊。

問題2? 請同學們類比等差中型的概念寫出等比中項的概念，并寫出等比中項與其他兩個數滿足的數學關系式？

教師追問1：關系式中的那兩個數的符號有什么特點？

學生活動：小組討論，自主完成

教師追問2：等差中項和等比中項有什么區別？

師生活動：教師板書：如果三個數a、G、b成等比數列，那么G叫做a和b的等比中項。記G2=ab（G=±? ab）

教師追問3：a，G，b成等比數列，G一定為± ab嗎？

設計意圖：讓學生深入挖掘等比中項的特征，學會求等比中項應該根據問題情境做出分析。

問題3? 請同學們回憶等差數列通項公式的推導過程，嘗試推導出等比數列的通項公式。

師生活動：

（1）學生自主學習，寫出等差數列的推導過程

（2）小組合作探究，完成等比數列的推導

（3）教師投影學生的推導過程，板書等比數列的通項公式

an=a1qn-1（q≠0，a1≠0）

教師追問：等差數列的通項公式有首項式也有任意項變形式，那等比數列是否也有任意項式，試著寫出來并加以證明

師生活動：

學生通過觀察發現，教師板書等比數列的第二個通項公式

an=amqn-m（q≠0，a1≠0）

設計意圖：通過觀察、猜想、發現、歸納的過程體驗，讓學生體會從特殊到一般，從具體到抽象的過程，強調歸納思想的運用，培養學生的邏輯推理素養。

環節3 例題分析 應用新知

例1：已知一個等比數列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項和第2項

變式：在等比數列{an}，已知a3=1，a7=? ? ，求等比數列{an}的通項公式。

師生活動：

（1）學生根據剛才所學習的等比數列的兩種通項公式選擇恰當的方法進行求解。

（2）教師根據學生的解答情況分析通項公式的特點，并引導學生選擇簡便的方法解題。

設計意圖：讓學生在解題過程中幫助學生體會等比數列的本質特征，知道數列中an，a1，q，n中的某幾項，代入通項公式，通過聯立方程組就可以解出其余未知的項。這樣既鞏固等比數列的通項公式。也讓學生感受與方程間的聯系。

例2：某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年剩留的這種物質原來的84%，這種物質的半衰期為多長（結果用對數表示）

師生活動：讓學生小組討論，發現這個過程可以構造等比數列的數學模型，寫出首項、公比。

設計意圖：幫助學生在實際問題情景中發現數列的的等比關系，培養學生學會從實際問題中抽象出數學模型的能力。而且用對數的知識解方程幫助學生回憶對數的相關運算，培養學生的運算能力。

環節4? 課堂小結： 完成表格

設計意圖：通過等差與等比數列的比較，讓學生體會兩種特殊數列的聯系與區別，便于后面運用過程中選擇合適的方法快速解答，培養學生學會知識的聯系。

四、目標檢測設計

（一）目標檢測題組一

（1）課本第53頁習題2.4A組的第一題

在等比數列{an}中，

①a4=27，q=-3，求a7;

②a2=18，a4=8，求a1與q

③a5=4，a7=6，求a9

④a5-a1=15，a4-a2=6，求a3

檢測目標：通過已知an，a1，n，q的任意幾項求解數列中其他項

（2）課本第53頁練習第五題

某人買了一輛價值13.5萬元的新車。專家預測這種車每年按10%的速度折舊。

①用一個式子表示n（n∈N*）年后這輛車的價值。

②如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢？

檢測目標：培養學生在現實生活鐘提煉等比數列的數學模型的能力。

設計意圖：加深和鞏固等比數列通項公式的運用，培養學生運算能力素養。

（二）目標檢測題組二

問題1 若數列{an}是等比數列，那么數列{? ?}、{an2}、{ an? }、{λan}是等比數列嗎？如果是，分別求出他們的首項和公比。

問題2? 若數列{an}與{bn}均為等比數列，那么數列{anbn}、{? ? }為等比數列？如果是，分別求出他們的首項和公比。

檢測目標：讓學生學會進一步辨析等比數列特征

設計意圖：通過變式，培養學生的發散思維。掌握證明它是等比數列的規律。

五、教學反思

本節課以問題為支架、運用探究式的課堂模式，在課堂上以問題引導學生對知識的理解，讓學生體會概念學習的嚴謹性。這符合新課標的要求，把課堂學習的主權還給學生，讓學生自己做知識的主人。但由于有部分學生的知識儲備能力不足，對于問題的解決過程中，顯得有些措手不及。加上筆者所在學校的學生基礎較為薄弱，計算能力差，在例題的求解過程中速度較慢，浪費了一些時間，使得最后的總結有些倉促。因此，在以后的教學過程中，應該更多的以問題為支架，引導學生進行思考，體驗知識的形成過程，不僅有利于學生更加牢固的儲備知識，而且對學生學科素養培養有著重大的意義。

【課題：廣州市增城區教育科學“十三五”規劃2019年度課題“以問題為支架”的高三復習課有效性研究（編號：zc2019029，主持人：胡能其）】

【參考文獻】

[1] 馬旭，歐陽尚昭.“集合的概念”教學設計、教學反思與點評[J].中學數學教學參考，2019（22）：17-23.

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[3]秘海霞.“基于學生所學，建立任務驅動”的“教、學、評”一致性教學設計——以“解直角三角形”為例[J].中學數學，2020（18）：18-19+22.