高中數學課堂中學生抽象能力的有效培養

陳進忠

摘 要：抽象能力是數學六大核心素養之一。《普通高中數學課程標準》指出：“通過數學課程的學習，讓學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經驗。”培養抽象能力是提升數學思維能力的重中之重，也是現代數學教育的一項重要目標。下面針對高中數學教學中如何提升學生抽象能力進行具體闡述。

關鍵詞：抽象能力;數學教學;培養途徑

史寧中教授說過：“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展最重要的基本思想也就是抽象，只有通過抽象才能得到抽象的東西。”可以說沒有抽象，就沒有數學。所謂數學抽象思維是一種以數學內容為基礎，通過觀察、實驗、類比、歸納等途徑從同類事物中抽取的具有共同、本質屬性特征的數學思維。培養抽象能力是發展學生數學能力的首要前提。

一、利用數學概念，培養抽象能力

華羅庚曾說過：“數學的學習過程就是不斷建立各種數學概念的過程。”而數學概念的形成是經過多次“從具體到抽象、從特殊到一般”的過程，反映的是一類對象所具有的典型本質屬性特征，是一種數學的思維形式。數學概念是構成數學定理、公式、法則的基礎，是進行數學推理與論證的手段。而數學結構、數學思維、數學命題等都可以看作是數學概念進一步抽象的結果，因此，讓學生感知與經歷數學概念的形成過程，也是讓學生經歷多個層次的抽象過程，是培養抽象能力的重要環節。

數學概念呈現高度“抽象性”和“概括性”特點。杜賓斯基強調：“從現實情境中逐步抽象出數學概念的過程，可以彌補傳統概念同化式教學的弊端。”例如，在“函數的概念”一課的教學時，本節課教學目標是讓學生在實際問題情境中抽象出函數概念，并感受抽象的全過程。在課堂中首先帶領學生回顧初中函數概念和形式，為理解高中數學概念做好前置知識鋪墊。然后，結合生活實際，創設以下實例情境：

情境1：某城市居民天然氣收費標準為：每月用氣量不超過30立方時，按照3元/立方收費;超過30立方而不超過50立方部分，按照4元/立方收費。如果小李家每月用氣量為不超過30立方，月用氣單價為元，每月交天然氣費元與用氣量。

（1）上述問題中的變量是什么？用氣量？月用氣單價？

（2）你可以用自己的方法表示出題目中的變量嗎？

（3）用氣單價是用氣量的函數嗎？每月交天然氣費與用氣量的函數嗎？

顯然，根據已知條件，用氣單價與初中函數概念中有兩個變量的已知條件相矛盾，引發了學生的認知沖突，通過三個問題的逐層深入，讓學生學會如何表示變量，并找到對應的函數關系。

情境2：國際上利用“恩格爾系數”來反映人們的生活質量水平，該系數隨著時間的變化情況如下表所示。

提問：請嘗試描述恩格爾系數與時間之間的關系？

學生通過觀察表格發現，恩格爾系數與時間分別可以用集合A和集合B表示，且在集合中A的每一個時間t，在集合B中都有唯一確定的值與之相對應。

通過情境1和情境2兩個實例的分析，引領學生歸納其共同點，結果發現它們都是生活中的例子，且都具有對應的關系。那么究竟什么是函數呢？讓學生自主的定義并表征出函數的概念，教師給予糾正和總結，這樣，在情境中，學生經歷了從具體事物中抽象出函數概念的全過程，有效促進了學生抽象能力的培養。

二、利用數學建模，培養抽象能力

弗賴登塔爾說過：“模型是一個對象的表屬性和規定性的體現，人們可以通過具體的模型獲得抽象的感性認知。”數學建模的過程，就是將現實世界問題進行數學抽象，形成一個數學問題，并用數學知識分析與解決問題的過程。可以說數學建模是數學抽象的前提。因此，在實際教學中，要培養數學抽象能力，從數學建模活動入手，不失為一個好的教學方法。

“數學就是對于模式的研究。”隨著房價的不斷上漲，貸款購房成為人們關注的熱門話題。在“等差數列”教學時，我們不妨將貸款購房問題具體化，設計以下問題情境，引領學生建立數學模型進行分析并解決問題。

情境3：小劉為購房需要向銀行貸款60萬元，貸款時間為25年，貸款年利率為7.2%，假設小劉工資每月去除開銷后能存5000元，那每個月還款額為多少在小劉的承受范圍之內？

目前銀行按揭貸款主要有等額本息和等額本金兩種還款方式，根據題意，可以構建兩種還款模型，通過分析與比較兩種還款模型，來確定每個月的還款額。

（1）等額本息還款模型。將貸款總額與總利息平均分攤到每個月，在該還款方式中，雖然每個月還款額相同，但是本金是逐月增加、利息逐月減少的。

由已知，可設貸款額a0=60（萬元），年利率q=0.006，還款時間n=1，2，3，…300（月），an表示第n個月尚欠銀行的款，x表示每個月還款額度，構建數學模型：

根據遞推關系分析，該模型為等差數列模型。

由此可得：xn=5600-12n。每月還款額為首項5600，公差為-12的等差數列。貸款本金和利息總額為1141800元。

兩種數學模型相比較，可知，雖然模型2所需要支付的總額低，但前幾個月的還款額明顯超出了小劉的承受范圍。因此，確定采用模型1的還款方式比較合適。

可見，對實際生活分析的過程，就是讓學生經歷從生活問題中抽象出數學模型來解決問題的過程，開展數學建模教學，能有效提升學生的數學抽象能力。

三、利用數學推理，培養抽象能力

數學抽象與數學邏輯推理有著密切的聯系，其中，數學推理是一種由已知到未知的方法，包括了數、式的演算與證明過程，而數學推理的過程往往是從最抽象的數學公理體系出發，運用歸納推理、合情推理、類比推理和演繹推理等方法逐步尋求新的結果。而這一過程是利用學生感官直覺從已知問題中抽象出一般性原理的過程。可以說，數學抽象始終貫穿于數學邏輯推理的過程。

數列推理論證題的求解是高考重點，涉及函數、方程、分類討論、等價轉化等重要思想方法，突出考查學生的數學抽象能力和邏輯推理能力。

例1：在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求通項an。

例2：在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n-4，求通項an。

例3：在數列{an}中，a1=1，an+1=3an+4·2n，求通項an。

對三道例題進行整體分析，發現三個問題的形式比較相近，將其特殊值一般化，可以抽象出以下問題：在數列{an}中，a1=a，an+1=kan+f（n），求通項an，通過對一般形式變形可得：an+1+g（n+1）=k[an+g（n）]，從而可以求出通項公式。這樣通過邏輯推理分析，就抽象出了三個數列問題的通用求解方法。

在實際教學中，讓學生經歷具體問題抽象化一般問題，既能使學生深刻的理解問題的求解思路與策略，又能有效提升學生的抽象能力。一旦學生具備了這種能力，其解題效率也會大大提升。

四、利用數學實驗，培養抽象能力

表象反映了一類事物的共同特點和特征，是人們思維意識中對客觀事物的一種客觀印象。表象思維是形象思維和抽象思維溝通的橋梁。而數學實驗教學是讓學生在動手、動腦的經歷中去抽象的過程，其宗旨是讓學生將具體過程抽象為具有高度概括性和抽象的數學知識。因此，將數學知識的講解以數學實驗的過程呈現在學生面前，既有利于刺激學生大腦皮層，激發學生學習熱情和積極性，還能在動手實踐的過程中提升抽象概括能力。

GeoGebra軟件具有強大的繪圖能力，且操作簡單，便于學生實踐。例如，在“對數函數及其性質”一課教學時，學生通過前面“指數函數及其性質”的學習，已經掌握了對函數圖象和性質研究的基本方法。因此，本節課教學思路是：

首先結合考古學知識創設數學問題情境：考古學家通常會根據附著在出土文物和遺址上死亡生物體的殘留物之間的關系t=p來推算出土文物年代。

為學生提供了一組數據，讓學生利用GeoGebra軟件判斷是否為對數函數，實驗結果顯示是對數函數。師生交流，從具體問題抽象出對數的概念。

然后，讓學生以小組為單位，仿照指數函數及其性質的研究過程，理解對數函數的概念，并能利用GeoGebra軟件畫出具體的對數函數的圖象，從而借助數學實驗教學來探索對數函數的性質。學生借助分類討論的思想，動手作圖，用軟件展示了實驗成果，同時，通過相互討論，從圖象中發現了函數的性質，在用特殊值驗證性質正確性的基礎上，然后再從特殊抽象出一般的特征。

通過實驗主動探索、積極動腦和動手，才能讓學生在感受客觀事實的同時，又適當地利用理論知識進行論證，有效促進了數學抽象概括能力的培養。

“抽象是數學思維形成的基礎。”數學抽象反映了數學的本質特征，有助于學生形成一般性問題思考的方法與習慣，對于學生數學核心素養發展影響較大。抽象能力的形成過程，是數學知識積累消化和數學思維能力不斷提升的過程，積極引導學生進行抽象思維能力訓練，有利于完善學生的思維結構。

參考文獻：

[1]周先華.高中數學核心素養之數學抽象能力的培養實踐初探[J].數理化解題研究（高中版），2017（7）：39-41.

[2]張亞男.高中數學教學中學生抽象能力的提升途徑探究[J].高考，2019（14）：208.