在變與不變中探求數學的本質

楊珍珍

【摘要】通過分析和探究2020年高考數學預測卷中第21題及其變式以引導學生運用類比、聯想、轉化、數形結合的數學方法探索、發現并嘗試解決新的問題;啟發學生獨立思考，數學壓軸題的變式過程可以讓學生打破固有的思維，學會舉一反三，有利于培養學生的獨立探索和自主創新的意識。

【關鍵詞】數形結合 ? 舉一反三 ? 創新意識 ? 核心素養

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）28-133-01

下面筆者將以一道函數題為例，對其解法及變式進行探究，希望對高三學子有所裨益。

1.試題浮現

1.1 ?題目

已知函數f（x）=m+x2ex-a.

（1）當m=0時，求f（x）的極值;

（2）若對?m∈[0，1]，總存在唯一實數x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求a的取值范圍.

1.2 ?問題分析

本文采用了一題多變的研究方法，旨在培養學生多思多問的習慣，以增強學生對數學的探究和感悟能力，讓學生在枯燥的數學的解題過程中體驗其中“變與不變”的美，進一步提升學生的數學學科核心素養。

1.3 ?解法研究

數學的思想和方法是數學的靈魂，大部分復雜的數學問題都可以轉化成幾個基礎性的問題.本題屬于高考函數壓軸題的常規題型，考法穩中有變，第一問考查函數單調性的求法，考法常規，思路清晰，方法固定，可以通過求導討論函數的單調性及利用函數極值的定義進行求解; 其中第二問是常規的考查參數范圍的問題，不過該題目跟往常的考法略有不同，它由通?？挤ㄖ械膯我磺笕我庑曰蛘叽嬖谛詥栴}升級成同時求存在性和任意性的問題。

（1）解：當m=0時，f（x）=x2ex-a，則f'（x）=x2ex+2xex=x（x+2）ex故f（x）在（-2，0）上單調遞減，在（-∞，-2），（0，+∞）上單調遞增。f（x）極大值=f（-2）=m+4e-2-a;f（x）極小值=f（0）=m-a .

第（1）問屬于函數與導數問題的常規題型，不過在計算過程中發現很多學生混淆了極值和極值點的概念，錯把求極值寫成求極值點，于是本題把求極值改成求極值點就可以成為一道變式題，同學們下去完成。

（2）對?m∈[0，1]，有f（x）=x2ex-a與g（x）=-m在x∈[-1，1]上有唯一的交點，f（x）在[-1，0）上單調遞減，在（0，1]上單調遞增。

又f（-1）=e-1-a; f（1）=e-a; 且g（x）=-m∈[-1，0].

故 ? ?f（-1）<-1 即 ? e-1-a<-1 ， 因此a∈（e-1+1，e]

f（1）≥0 ? ? ? ? ?e-a≥0

1.3.1 變式一

若對?m∈[0，1]總存在x∈[-1，1]使得m+x2ex-a=0成立，求實數a的取值范圍。

解： 令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

對?m∈[0，1]有f（x）=x2ex-a在x∈[-1，1]上的值域包含g（x）=-m的值域。

故 ? f（x）min≤-1即 ? -a≤-1， 因此a∈[1，e]

f（x）max≥0 ? ? ? ? ?e-a≥0

把條件中的存在唯一性改編成存在性就成為變式一了，我們可以把方程轉化為兩函數存在交點的問題，然后仿照例題，可利用數形結合的方法進行求解.在做題的過程中讓學生體會其中的差異，并鼓勵學生做大膽的嘗試，看可不可以對該例題題目再次進行改編呢？在老師的鼓勵和引導下，同學給出了如下的變式。

1.3.2 變式二

若對?m∈[0，1]與?x∈[-1，1]都有m+x2ex-a=0成立，求實數a的取值范圍。

解： ?令f（x）=x2ex-a，g（x）=-m

故 ? f（x）min=-1 ?即 ?-a=-1， 因此a∈?

f（x）max=0 ? ? ? ? ?e-a=0

通過該變式，我們發現把變式一中的存在性改成任意性，解答就會發生一些變化，由值域的包含關系變成值域相等，再結合函數的單調性就可以給出解答，那同學們我們能不能想想可不可以變換別的條件，使得該題有新的變式，我們可以大膽嘗試，看能不能把相等關系改編一下使之成為不等式呢？

學生努力思考，大膽探索，給出如下的變式：

1.3.3變式三

若對?m∈[0，1]與x∈[-1，1]任意都有f（x）<0成立，求實數a的取值范圍。

解： 設h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

則對任意x∈[-1，1]都有x2ex-a<-1成立，

故h（x）max=h（1）=e-a即e-a<-1， 因此a∈（e+1，+∞）

在變式三中，我們把條件中的方程改編成了不等式，該題仍是一個雙變量的恒成立問題，通過轉化成最值問題來求解a的范圍，那我們思考一下，能不能再做一些大膽的嘗試，可否把題目中的雙任意變量進行一下改編呢？學生突破思維定勢，大膽思考，嘗試做出如下的變式：

1.3.4變式四

若?m∈[0，1]對總存在x∈[-1，1]使得f（x）<0成立，求實數a的取值范圍.

解： 設h（x）=x2ex-a，g（x）=-m∈[-1，0]

則存在x∈[-1，1]使得x2ex-a<-1成立，

故h（x）min=h（-1）=e-1-a<-1， 因此a∈（e-1+1，+∞）

大家還可以繼續變式把f（x）<0改成f（x）>0，這樣就又有兩道新的變式題目，解法與上述變式幾乎一致，大家下去自己整理作答。

2.題目拓展及變式

2.1 題目（選自2020屆高考質量預測卷）

已知函數f（x）=ln（x2+1），g（x）=（ ? ?）x-m，若對任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍。

2.2 解答略。

2.2.1變式一

若對任意x1∈[0，3]及x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍。

2.2.2變式二

若存在x1∈[0，3]，對任意x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍。

2.2.3變式三

若存在x1∈[0，3]與x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實數a的取值范圍。

2.2.4變式四

若對任意x1∈[0，3]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2），求實數a的取值范圍。

以上四種變式表面看各有不同，但究其本質都是一樣的，都是把任意存在型問題轉化為函數的最值再進行解的，都是利用了導數的工具。

3. 教學思考

本文我們用探索的眼光、發散的思維多方面地對高考中常見的函數壓軸題型及其變式進行挖掘和研究，有助于提升學生對數學思想方法的認識，進一步促進學生的實踐能力和創新意識，增強學生透過數學的表面看其本質的能力，引領學生突破定勢思維，讓學生體驗數學壓軸題中“變與不變”的美，從而提升學生的數學學科核心素養。

【參考文獻】

[1]高和平.中學數學思想方法及其教學[J].教學與管理，2004（3）：67.