“一題多解”課例實錄與教學感悟

趙國慧

[摘? 要] 以一道平面向量題教學實錄為例，認為“一題多解”雖然能訓練學生的求異思維，但人的精力有限，考場也不主張“一題多解”，所以我們應該讓“一題多解”走向“一題優解”，讓學生從“多解”中感悟“優解”，從而達到優化數學思維的目的.

[關鍵詞] 一題多解;實錄;感悟;高中數學

問題的提出

“一題多解”，是數學教學習題課上經常出現的一種現象，但教師往往只重視這種現象的發生，卻沒有在意每一種解法的實質分析，“一題多解”只浮于教堂教學的表面，有時只是一種解題游戲. 筆者認為，“一題多解”雖然能訓練學生的求異思維，但人的精力有限，考場也不主張“一題多解”，所以我們應該讓“一題多解”走向“一題優解”. 因此“一題多解”后，教師應該給出恰當點評，讓學生從“多解”中感悟“優解”，從而達到優化數學思維的目的. 基于此，本文展示“一題多解”課例實錄，以期拋磚引玉，共同探討.

課例實錄

習題課上，教師出了一道平面向量題請學生獨立完成. 幾分鐘后，教師發現學生集思廣益，出現了四種典型的解法. 雖然四種解法都完全正確，但相比之下總能分出伯仲，于是，教師請四位學生上黑板展示自己的解法，而教師則來一個即興點評，讓學生感悟各種解法的優劣.

題目：設向量a，b滿足a=1，b=2，2a+b=（2，0），求a·b.

學生1（解法1：利用定義解題）：

設a=（m，n），b=（p，q），則a=1，b=2？圯m2+n2=1，p2+q2=4，2m+p=2，2n+q=0？圯m=■，n=±■，p=1，q=？芎■.

所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），所以a·b=-1.

教師點評：這種解法是解決這類問題最普通的方法. 當同學們看到題目后，都會從定義入手去尋找解題思路. 題目中既然出現了向量2a+b的坐標形式，那么自然而然想到用坐標法來解決這個問題，于是想到設出向量a，b的坐標，并根據題目條件，列出等式，并進行計算，最終得到問題的結果，思路自然、嚴謹. 不過在利用定義解題的過程中，我們會發現這里出現了大量的較為復雜的計算，因此建議運用度為30%.

學生2（解法2：利用三角換元法求解）：

知識聯系：在直角坐標系中，點P為任意角α的終邊與圓x2+y2=r2（r>0）的交點，則P（rcosα，rsinα）.

設a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由2a+b=（2，0），所以2cosα+2cosβ=2，2sinα+2sinβ=0，即cosα=1-cosβ，sinα=-sinβ.

兩式平方相加可得cosβ=■，從而sinβ=±■.

因此cosβ=■，sinβ=■，cosα=■，sinα=-■或cosβ=■，sinβ= -■，cosα=■，sinα=■.

所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），所以 a·b=-1.

教師點評：換元思想是中學數學解題中一種重要的方法，經過換元可以將復雜問題變得簡單，陌生問題變得熟悉[1]■. 上述解法將向量知識與第四章“三角函數”相聯系，采用了三角換元法，把原來的向量問題轉化為三角問題.這種解法既鍛煉了學生的數學思維，又讓學生從中深深體會到了數學知識的整體性和連貫性. 更令人可喜的是，它的解題過程得到了簡化，較解法1的四元二次方程組要來的容易許多.建議運用度為60%.

學生3（解法3：利用圖像求解）：

設2a=■=P（m，n），b=■=R（p，q），■=Q（2，0）.

由題意有：■+■=■，則四邊形OPQR為平行四邊形（如圖2）.

又因為■=■=■=2，所以△OPQ，△OQR都是等邊三角形，所以所求的向量是：

思路一：所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），則a·b=-1.

思路二：向量a，b的夾角為120°，則a·b=a·bcos120°=-1.

教師點評：這種解法的特點是數形結合.我國數學家華羅庚曾說過“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”[2]■■. 數與形反映了現實世界中的數量關系與空間形式.這種解法緊緊抓住了已知條件中數的特征，把三個向量的模長都視為2，再將它放入坐標系中研究，并借助平面幾何的等邊三角形的有關知識，讓問題解決得更快捷.特別在思路2的運算中，計算a·b的值需用到兩個向量的夾角，而在平面直角坐標系中，夾角為多少，令人一目了然，從而真正實現了數與形的相互轉化.這種解法直觀，簡潔，明了，避免了機械的計算，建議運用度為80%.

學生4（解法4：利用模的定義求解）：

因為2a+b=（2，0），所以2a+b=■=2.

又2a+b=■=■=■=■，

則■=2，即a·b=-1.

教師提問：若將2a+b=（2，0）改為2a+b=（2cosγ，2sinγ），結果如何？

學生4：2a+b=■=■=2，所以a·b=-1.

教師點評：此時此刻，同學們發現了嗎？它們的結果是一致的，所以無論坐標以何種形式出現，只要滿足2a+b=2（常數）這個條件，我們就可以用解法4來解決. 對比四種解法，不難發現解法1、解法2、解法3都不簡潔，而解法4一枝獨秀，值得推廣開來. 建議運用度為100%.

教師總評：數學解題貴在轉化，我們可以依據定義轉化，也可以利用數學知識之間的相互關系轉化. 本題的解法4直接運用向量模的定義以及二次根式的非負性，把向量的模進行平方后轉化為向量的數量積，這種方法不僅讓學生加深了對a2=a2的理解，而且檢驗了學生對向量數量積運算律的掌握情況. 對此，我們對這種方法點個贊！（學生鼓掌）

教學感悟

有人說，教師要有一桶水，方可給學生一杯水[3]. 而后又有人說，教學相長. 這兩句話其實體現了教與學之間的辯證關系. 在學生學習初期，學生的確不如教師，要教師“教”，而當學生學習到一定程度時，他們就會有自己的思想、自己的觀點，這時就需要教師“引”. “一題多解”反映了學生的思路，體現了大眾智慧，這時的教師也許不如學生的思維活躍，于是產生了“教學相長”的效應，但此時的教師還是學生學習組織者與指導者，面對學生的“一題多解”必須加以正確引導，以教師獨特的、專業的目光對各種解法進行剖析，讓學生有更深刻的理解，而不是聽之任之.

那么，教師該如何對待“一題多解”呢？首先，教師自己要刻苦鉆研，深入對題目進行研究，掌握“一題多解”的實質，用研究的眼光看待“一題多解”，做到站得高看得遠. 其次，要鼓勵學生“一題多解”，讓學生在“一題多解”中感悟數學的奧妙，實現知識的融會貫通與靈活應用的目的. 最后，教師應引導學生厘清每一種解法的思路與問題揭示的本質，而不是為“一題多解”而“一題多解”，而是讓學生從“一題多解”中感悟“一題優解”，為學生考查答題打下扎實的基礎.

如何上好習題課，有人講究課堂容量，認為盡可能讓學生多練題，可以達到熟能生巧的目的. 此言似乎有一定的道理，但從減輕學生的課業負擔角度看，未必可行. 那么，減負增效路在何方？筆者以為，“一題多解”式的習題解法研究課是一種有效的嘗試，這種課不需要學生解許多題目，也不需要教師講許多題目，可思維量一點沒有減少，而且更有利于提高學生的數學素養.

參考文獻：

[1]? 周浩. 巧借三角換元 妙解高考試題[J]. 中學數學，2018（09）.

[2]? 周德明，丁強.形缺數時難入微——從2015年高考數學江蘇卷第13題說起[J]. 中學數學教學參考，2016（34）.

[3]? 趙存卿. “杯水”與“桶水”的反思[J]. 教學與管理，2002（08）.