透視動態(tài)問題，深剖解析方法

薛安定

[摘? 要] 立體幾何動態(tài)問題是高考的熱點題型，其中含有大量的數(shù)形信息，問題解析需要把握動態(tài)成因，關(guān)注圖形變化過程，合理進行化動為靜降維處理. 文章對動態(tài)問題歸類探究，解析問題的突破方法，提出相應(yīng)的教學建議.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;動態(tài);角度;距離;翻折

問題綜述

立體幾何中的動態(tài)問題是高考的經(jīng)典問題之一，由于問題中含有一些“不確定”因素，使得問題具有動態(tài)屬性，例如聯(lián)系動點、融合圖形翻折、平移等. 問題中的“不確定性”往往會對學生解析問題造成一定困難，需要采用對應(yīng)的策略來處理. 一般立體幾何動態(tài)問題中隱含著一些規(guī)律性內(nèi)容，可將其作為打開解題突破口的關(guān)鍵條件，即采用化“動”為“靜”的轉(zhuǎn)化策略. 解析時應(yīng)關(guān)注變化過程，總結(jié)變化規(guī)律，運用數(shù)學思想，合理引入?yún)?shù)，適度代數(shù)推理，下面結(jié)合實例探究.

類型探究

立體幾何動態(tài)問題的類型較為多樣，從問題形式來看主要有角度類、距離類、翻折類等，下面對其進行深入探究.

類型一：動態(tài)幾何中的角度問題

立體幾何中角度問題是常見問題，涉及異面直線所成角、線面所成角、二面角等，若加入動態(tài)屬性，其求解難度會變大. 求解此類問題往往采用空間向量法，常利用點坐標參數(shù)來設(shè)定動態(tài)因素，以實現(xiàn)靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

例1：ABCD-A■B■C■D■為正方體，點E是側(cè)面ADD■A■內(nèi)的一個動點，已知B■E∥平面BDC■，如圖1所示，設(shè)直線B■E與直線AB所成角為θ，則sinθ的最小值為_____.

解析：動點是形成動態(tài)幾何的因素，求異面直線所成角的正弦值的最小值，同樣可以采用空間向量法，引入坐標參數(shù)來實現(xiàn)動態(tài)問題的靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

以點D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD■為z軸建立空間直角坐標系，如圖2所示. 設(shè)正方體的棱長為1，點E（a，0，c）（其中0≤a≤1，0≤c≤1），則B■（1，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C■（0，1，1），則可推知向量■=（a-1，-1，c-1），■=（1，1，0），■=（0，1，1），■=（0，1，0）.

設(shè)平面DBC■的法向量為n=（x，y，z），可推知n=（1，-1，1）. cosθ=■=■. 又知B■E∥平面BDC■，則■·n=0，可解得a+c=1，可推知ac≤■■=■，則■≤■，sinθ=■=■≥■，a=c時等號成立，且滿足條件，所以sinθ的最小值為■.

方法點睛：上述采用了空間向量法求異面直線所成角的正弦值的最小值，并利用坐標參數(shù)實現(xiàn)了動點的坐標具體化，促進了動態(tài)問題的靜態(tài)轉(zhuǎn)化. 因此對于涉及動點的立體幾何問題，可以引入坐標參數(shù)來簡化問題.

類型二：動態(tài)幾何中的距離問題

求空間距離是立體幾何的常見問題類型，同樣也可從動態(tài)角度來考查距離求解的方法. 往往動點、動直線是造成問題動態(tài)的常見因素，具體求解時需首先確定動態(tài)元素的運動軌跡，然后進行靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

例2：正方體ABCD-A■B■C■D■的棱長為4，點H是棱長AA■上的一點，且HA■=1，在側(cè)面BCC■B■內(nèi)作一邊長為1的正方形EFGC■，點P是側(cè)面BCC■B■內(nèi)的一個動點. 已知點P到平面CDD■C■的距離與線段PF的長相等，當點P運動時，HP的最小值為____________.

解析：本題目同樣是因動點造成動態(tài)變化，解析時需要把握其中的距離關(guān)系，可以采用空間向量法，也可以建立平面坐標系來推導點P的運動軌跡，進而確定相應(yīng)的線段最值.

在棱BB■上取一點K，使得B■K=1，可知HK垂直于平面BCC■B■，連接PK，可知HP2=16+PK2. 在平面BCC■B■上建立平面坐標系，設(shè)定G為原點，GC■所在直線為x軸，GF所在直線為y軸，如圖4所示. 設(shè)點P的坐標為（x，y）. 由題設(shè)條件可知點P的軌跡方程為x2=2y-1（其中x∈[-3，1]，y∈■，4），軌跡為拋物線. 又可得點K的坐標為（0，4），則PK2=y2-6y+15，分析可知當y=3時，PK2可取得最小值6，所以HP的最小值為■.

方法點睛：求解時采用了平面坐標系法，根據(jù)題設(shè)條件確定了動點的軌跡方程，然后建立了關(guān)于線段長的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)確定了最終的答案. 因此對于軌跡特征明確的動態(tài)幾何問題可以從構(gòu)建軌跡方程入手.

類型三：動態(tài)幾何中的翻折問題

翻折、旋轉(zhuǎn)是幾何運動的重要方式，利用翻折和旋轉(zhuǎn)同樣可以構(gòu)建動態(tài)幾何，解析問題時需要關(guān)注翻折和旋轉(zhuǎn)的運動過程，充分把握其特性，挖掘其中的隱含規(guī)律來構(gòu)建相應(yīng)的模型.

例3：ABCD為平面內(nèi)的四邊形，已知AD=AB=■，CD=CB=■，AD⊥AB. 現(xiàn)將△ABD沿著對角線BD進行翻折，得到了△A′BD. 分析在△ABD折起至平面△A′BD的過程中，直線A′C與平面BCD所成最大角的正切值為____________.

解析：連接AC，與BD的交點設(shè)為點E，則點A′的軌跡是一段以點E為圓心，以A′E長為半徑的圓弧. 軌跡確定，故可以在動點軌跡所在平面內(nèi)進行分析.

在四邊形ABCD中，可求得BD=2，BE=ED=1，EA=1，EC=2. 探究動點A′運動軌跡所在平面，直線A′C與平面BCD所成角的平面角為∠A′CE，顯然當A′C與動點的軌跡圓相切時所成角最大，此時在Rt△A′CE中有EA=EA′=1，EC=2，所以∠A′CE=30°，則正切值tan30°=■.

方法點睛：求解時采用了平面軌跡法，即確定翻折過程關(guān)鍵點的軌跡，然后從平面視角來直接判斷其最值情形. 問題解析充分把握翻折過程中的特殊位置，故求解翻折類立體幾何問題時可采用“軌跡轉(zhuǎn)化，特殊位置分析”的思路.

教學建議

上述對立體幾何常見的動態(tài)問題的特點、解析方法進行了剖析，充分掌握可以顯著提升解題能力，下面結(jié)合教學實踐提出兩點建議.

1. 準確定位動態(tài)成因，合理開展轉(zhuǎn)化降維

立體幾何動態(tài)問題的類型較多，上述所呈現(xiàn)的是其中較為常見的三種，形成動態(tài)問題的因素涉及動點、動直線、翻折等，解析問題的關(guān)鍵是準確定位動態(tài)成因，確定動態(tài)因素的軌跡或變化過程，為后續(xù)的降維轉(zhuǎn)化提供參考. 對于立體幾何動態(tài)問題一般采用幾何降維和化動為靜的轉(zhuǎn)化方式，其中降維處理有多種方式，可提取動點軌跡所在平面、關(guān)注其中的特殊位置、利用二面角構(gòu)建方法等，解析時需根據(jù)問題特點確定轉(zhuǎn)化降維方法. 而在教學中應(yīng)引導學生深入剖析立體幾何動態(tài)問題的本質(zhì)，結(jié)合化動為靜的策略來確定降維方法，形成該類問題的通性通法. 同時注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提升學生的思維靈活性.

2. 掌握數(shù)形破解策略，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

立體幾何動態(tài)問題常涉及距離、三角函數(shù)值、體積等知識，由于動態(tài)因素的存在，在解析時需要根據(jù)其動態(tài)情形來解析位置，其中必然需要利用方程、函數(shù)、不等式等代數(shù)知識，因此數(shù)形解析方法是該類問題常用的破解策略，需要重點掌握. 例如例2求距離問題時先結(jié)合動點軌跡建立了相應(yīng)的函數(shù)方程，然后結(jié)合運動范圍及函數(shù)性質(zhì)確定了最終答案. 需要注意的是數(shù)形解析策略同樣是一種數(shù)學思想，在教學中需要引導學生掌握該思想的內(nèi)涵，掌握數(shù)形思想解析問題的方法技巧，教學中可以結(jié)合具體教學內(nèi)容，讓學生體驗數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過程，逐步發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).