開展思路突破，反思破題方法

許偉

[摘? 要] 圓錐曲線是高中數學的重要內容，其問題具有綜合性強、知識關聯、解法多樣等特點，考題設問具有一定的代表性，深入探究可有效提升學生的解析能力. 文章對一道圓錐曲線綜合題進行思路突破，開展解后反思，拓展延伸，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 圓錐曲線;相交;范圍;代數法

問題呈現，思路突破

1. 問題呈現

問題：已知橢圓的解析式為■+y2=1，點F■和F■分別為橢圓的左、右焦點，試回答下列問題.

（1）設點P是第一象限在該橢圓上的一點，若■·■=-■，試求點P的坐標;

（2）設直線l過定點M（0，2），與橢圓交于A和B，連接AO，BO，若∠AOB為銳角（點O為坐標原點），k為直線l的斜率，試求k的取值范圍.

2. 思路突破

上述考題為圓錐曲線綜合題，主要考查直線與橢圓相交的位置關系，以及曲線方程的計算. 問題共分兩問，第（1）問融合向量數量積求解橢圓上點的坐標，需要把握幾何向量對數量關系及位置關系的內在表達;第（2）問分析直線與橢圓相交所構角為銳角時直線的斜率，同樣可以結合向量數量積的相關知識求解.

（1）該問的核心條件為“■·■= -■”，可設出點P的坐標，綜合該條件與點P位于橢圓上來構建方程，具體如下.

根據橢圓的解析式可知a=2，b=1，c=■，則橢圓焦點坐標：F■（-■，0），F■（■，0）. 設點P的坐標為（x，y），點P位于第一象限，其中x>0，y>0，■·■=x2+y2-3=-■. 又知點P滿足橢圓方程，可得方程x2+y2=■，■+y2=1，可解得x=1，y=■，所以點P的坐標為1，■.

（2）該問的核心條件是∠AOB為銳角，需要將該幾何條件轉化為相應的代數關系，可以采用如下解題策略：根據題設條件，結合幾何特性與向量之間的關聯進行轉化破解，具體如下.

分析可知直線為x=0時不滿足題設要求，可設直線l的方程為y=kx+2，點A和B的坐標分別為（x■，y■），（x■，y■）.

若∠AOB為銳角，則等價于■·■>0，有x■x■+y■y■>0，點A和B均滿足直線l的方程，故y■y■=（kx■+2） （kx■+2）=k2x■x■+2k（x■+x■）+4，所以x■x■+y■y■=（k2+1）x■x■+2k（x■+x■）+4>0①.

聯立直線l與橢圓C的方程，整理可得（4k2+1）x2+16kx+12=0，由韋達定理可得x■+x■=-■，x■x■=■，由Δ>0可得k2>■②. 將根與系數的關系代入①中，整理可得x■x■+y■y■=■>0，解得 -■

問題評析，解后思考

上述對一道圓錐曲線綜合題進行了方法剖析、思路突破. 問題涉及向量數量積的相關知識，其中求點坐標和斜率k的取值范圍屬于圓錐曲線的典型問題，下面對其進一步思考.

1. 問題突破的關鍵

考題以橢圓與直線相交為背景，融合了向量數量積相關條件，是圓錐曲線與向量融合的代表. 第（1）問求解滿足向量數量積條件的點P坐標，實則設定了點P與焦點之間的數量及位置關系，突破的關鍵是通過向量數量積的坐標運算來構建方程;而第（2）問探討直線與橢圓相交形成幾何角為銳角時的斜率取值，屬于幾何與函數的綜合問題，突破的關鍵是把握銳角與函數之間的關聯，實現形與數的轉化. 把握突破關鍵、合理轉化問題是破解綜合性問題的基本策略.

2. 解法突破的剖析

深入剖析圓錐曲線典型問題的解法可以深入認識考題，提升學生的解題能力. 上述考題的第（1）問采用的是向量數量積的坐標運算法，將點坐標問題轉化為相應的方程問題，該方式適用于曲線與直線的相交問題. 第（2）問考查常用的代數轉化法，即把握兩線相交成銳角與向量數量積的關系，從幾何特性出發來構建數式，該方法適用于數形關系明確的問題，同時該問題可以從兩線斜率角度來構建方程.

問題延伸，解法拓展

第（2）問考查圓錐曲線中的取值范圍題，在求解時采用了根據題設條件，結合幾何特性與向量之間的關聯進行轉化的策略. 圓錐曲線中的取值范圍問題類型較為多樣，解析方法不一，除了上述方法外，還有如下兩種常用策略，下面結合實例具體剖析.

策略1：建立目標問題表達式，結合參數或幾何性質求取值范圍

例1：已知橢圓C的解析式為■+■=1，點A和B為其左、右頂點，點F為其右焦點. 點P是圓x2+y2=4上的一個動點（異于點A和B），直線PA與橢圓C交于點Q，則■的取值范圍為__________.

解析：該問題為直線與曲線相交的斜率比取值問題，求解目標明確，需要聯合直線與曲線的方程來構建斜率比的表達式，故可以采用“建立目標問題表達式，結合參數或幾何性質求取值范圍”的策略.

根據題意可知A（-2，0），B（2，0），F（1，0），PA⊥PB. 設點Q的坐標為（x■，y■），則k■·k■=■·■= =■，所以■=-■=■=■1+■，其中x■∈（-2，2），且x■≠1，所以■1+■<0或者0<■1+■<1，則■的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）.

策略2：利用判別式或韋達定理建立不等式求取值范圍

例2：已知直線l的表達式為x-my+m=0，圓C的解析式為（x-1）2+y2=1，若直線l與圓C的兩個交點均位于坐標平面的不同象限上，則m的取值范圍為________.

解析：本題目求直線參數m的取值范圍，設定了直線與圓兩個交點的位置關系，不需要對目標問題進行轉化，只需根據限制條件來分析即可，故可以采用“利用判別式或韋達定理建立不等式求取值范圍”的策略.

聯立圓C與直線l的解析式，整理可得（1+m2）y2-2m（m+1）y+m2+2m=0，由直線與圓有兩個交點可知Δ>0，則有Δ=-8m>0，解得m<0. 若要使圓C與直線l的交點位于兩個不同的象限，則需確保交點的縱坐標符號相反，即交點分別在第一和第四象限，則有y■y■<0，聯系上述方程可得y■y■=■<0，可解得 -2

上述對圓錐曲線中常用的兩種方法策略進行了舉例探析，所選策略是由條件特征和目標問題共同決定的. 總體而言，圓錐曲線問題有幾何法和代數法兩種，對于條件與結論顯現幾何特性的問題可考慮采用幾何法求解，而對于條件與結論具有某種函數關系的問題則可以采用代數法.

教學反思，學習建議

圓錐曲線中的求點和取值范圍是高中的典型問題，上述對其解析方法和思路進行了深入探究，同時對取值范圍問題的解題策略加以拓展，下面對其開展教學反思，提出相應的學習建議.

1. 把握問題特征，合理構建思路

圓錐曲線問題的突破過程需要經歷問題分析和思路構建兩個過程，其中分析過程中需要把握問題特征，條件特性，這是思路構建的基礎. 如上述考題第（1）問直線與橢圓相交中，給出了向量數量積的條件，該條件設定了相交直線的位置關系及數量關系. 又如第（2）問求夾角為銳角時直線斜率的取值，條件具有鮮明的幾何特征，而目標問題顯然需從“數”的角度探究. 問題的這些特征可為解題策略的確定提供參考. 在教學中，需要引導學生深入讀題，把握問題特征，挖掘問題本質，辨析解析方法，幫助學生形成解題策略.

2. 開展專題探究，總結歸納解法

高中數學含有眾多的經典問題，例如上述的交點問題、取值范圍問題、向量數量積問題等，開展類型問題探究有助于整合問題，歸納解法. 例如上述對取值范圍問題的幾種常用策略進行了歸納總結，在舉例探究中形成了“特性決定方法，策略反饋問題”的解題方針. 因此在復習教學階段，應將教學重點轉移到專題探究中，通過對典型問題的整合、常用方法的歸納來提升學生的解題能力，在整合歸納過程中還應側重對關聯知識的鞏固，完善知識體系，形成系統的方法策略.

3. 關注解題思想，發展數學思維

發展學生的數學思維可從根本上提升學生的解題能力，同時發展學生思維是高中教學的核心任務，而在實際教學中應從思想方法入手，即通過解題思想的滲透傳達來逐步完成. 例如上述圓錐曲線問題的探究中，應滲透方程思想、化歸轉化思想，引導學生基于問題條件來構建方程，或結合相應的解題策略來轉化問題，另外還可以引入問題圖像，指導學生通過數形結合來簡化問題. 總之，學生的思維發展應落實到具體的教學中，需要教師引導學生感悟數學的思想內涵，培養學生的核心素養.