基于幾何直觀的初中代數教學設計研究

李海英

摘 要：直觀想象是《新課標》中所提出的六大核心素養之一。《新課標》給出的定義是：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。以幾何直觀作為解決代數問題的手段，促進學生對于代數知識的理解程度，增加學生的直觀想象力，因此本文將探討其在初中代數教學中的應用。

關鍵詞：初中數學 幾何直觀 代數教學

一、幾何直觀在代數中的表現形式

1.方形圖（切割補充法）

切割補充法即利用現有圖形對其進行切割補充成為我們熟知的圖形，這樣就可以便于計算和理解。任何一個數學概念、公式及其定理都能找到一個原型。在《從面積到乘法公式》這一節中，教材利用了這一方法對乘法公式進行了直觀的分析和推理。培養學生能夠采用割補的方法，豐富學生的想象力和空間構造能力。

例如：a2-b2=（a+b）（a-b）這一個式子中，學生可以畫一個邊長為a的正方形，再取其中邊長為b的正方形。可以觀察到，大的正方形有兩條邊變成了a-b，可以割下一個長寬為（a-b）和b的小長方形，補到剩下的大長方形上，這樣就很明顯的能夠觀察到圖形的變化，式子之間的關系也顯而易見了。

2.數軸設計法

數軸是數學教學中最重要的一個手段，在建立數軸時，數軸的三要素：原點、正方向、單位長度缺一不可。數軸可以描述相反數、絕對值，在遇到這類方程時，可以利用數軸把式子用它表示出來。利用這樣的幾何直觀來解決復雜的方程式，會讓問題簡單化，學生更容易理解和解決問題。例如求|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x-5|的最小值，則在數軸上找到1、-2、3、5幾個值。求1、-2、3、5之間距離之和最小的值，我們可以發現從-2到5之間的距離是定值7，從1到3之間是定值2，此時它們之間的距離之和最小，所以3≥x≥1時有最小值，最小值是9。

3.函數圖像

函數圖像是初中數學最核心部分[1]，有很多同學因為函數的難懂會對數學失去信心，所以函數圖像的表示和應用就至關重要了。借助函數圖像，學生可以更加深入了解到函數的表達和解決方法，而不再是“聞面不識人”的現象。例如一次函數對應的函數圖形就是直線，二次函數對應的函數圖像就是曲線，反比例函數對應的函數圖像就是雙曲線。用一個例子來表示，已知點（1，y1）（-2，y2）（1/3，y3）在函數y=1/x上，比y1，y2，y3的大小。這個例子有兩種思路，一種是普通的數值代入，把每一個橫坐標代入到式子里面進行計算，另一種是函數圖像表示，畫出原式的函數圖像，把橫坐標標在圖像上，這樣可以直觀地看到三個未知數的大小比較情況。讓學生能夠在自己的腦中形成一個可視化的圖形，把函數問題圖形化，讓復雜的問題簡單化。

二、引導學生結合圖像思考代數問題

對于初中學生的代數學習，教師如何引導學生通過圖像來表示，又該如何讓學生發揮空間想象力思考代數問題，值得思考和探究。教師不僅僅要教會學生如何做，更重要的是要引導學生主動去想，發揮學生的主觀能動性，更多的讓學生去思考和想象[2]。首先，教師應該從例題入手，在課堂上，以教材上的例題為示范，給學生展示幾何直觀的表達方式，讓學生能夠了解其中的變化和思路，再讓學生去做。讓學生自己去體會如何經過圖形化的處理讓代數問題變為圖形問題的過程。其次，要學會讓學生自主地去思考和轉化，在做一些課后題時，可以讓學生把圖形畫出來，培養學生的學習習慣，能夠動手畫出來再去想，這樣的思考方式能夠讓學生養成習慣，在遇到難題時也能夠迎刃而解。最后就是圖形和代數的銜接，在實際學習中，很多學生能夠解決代數問題，也能夠把代數問題轉化為圖形問題去解決，但是卻不了解二者之間的關系，面對難度更大的題時，就很容易出錯。這樣的情況就需要教師在轉化的過程中對學生進行引導，讓其能夠將對應問題與圖形連接起來，看到這樣的式子就能想到這樣的圖形。進而就可以養成一種幾何直觀的思維方式。

例如常見的函數問題，兩個一次函數相交于一點，問如果要使y1>y2，x的取值范圍是多少。這樣的題目經常可以看到，但也經常有學生做錯。如果把這樣的一個問題以幾何直觀的方式表達出來，一切就顯得非常容易了。只需要把兩個一次函數對應的圖像畫出來，標出交點，觀察在交點前后，兩個一次函數中y的大小變化即可看出。

三、重視實踐操作，重構幾何模型

在學習代數的過程中，常常會發現，如果一個代數問題，直接對其進行處理，則會變得更加復雜和難以求解[3]。但是如果我們能夠掌握上述的幾種幾何直觀的方法，用實踐的方法，在原有的圖形基礎上進行變化，這樣通常會使那些看似難以處理的代數問題變得更加簡單了。例如在研究立體圖形的表面積時，例如圓柱、圓錐、圓臺這樣側面為曲面的立體圖形，直接求解很難得到答案，通常我們會把它展開變成一個平面圖形，這樣就可以得到一個更為熟悉的圖形。以圓柱為例，最后只需要求兩個圓和一個矩形的面積就好了。矩形的長，就是圓的周長，矩形的高就是圓柱的高。

幾何直觀不是一蹴而就的，它需要學生能夠一次次的探索和發現，通過自己的實踐來找到最好的解題方法。把那些看起來很抽象的、毫無規律的代數問題變換成簡單的圖形問題，并從中尋找最快最簡便的方式來解決。也許只是畫一條輔助線，也許只是建立一個坐標軸，也許只是把不規則圖形變成規則圖形，但其中所蘊含的是極其巧妙的數學思維，學生多去思考、多去實踐，才能夠把更多的問題解決掉。不能讓學生覺得建構幾何直觀模型是浪費時間，教師應當在其中引導學生，讓學生再次遇到數學難題時能夠不慌不亂，會設計、會思考、會動手、會動腦。

參考文獻

[1]惠群.幾何直觀在初中代數中的表現形式及教學策略[J].數學之友，2014，（16）.

[2]孫露薇.中學數學代數領域的幾何直觀——從化歸的視角來看[J].課程教學研究，2015，（10）.

[3]徐世白.從整體出發認識教材，從認知出發設計教學—以“對數運算”的幾種教學設計為例[J].中學數學，2015，（9）.