關注基本圖形?發展空間觀念

銀集

摘 要：線段垂直平分線性質的學習對學生的空間觀念有一定的要求，在教學中，利用線段垂直平分線基本圖形，根據學生認知規律，按層次鋪設腳手架，引導學生拾級而上，從而達成讓學生理解線段垂直平分線基本圖形、從較復雜圖形中分離出基本圖形、構造線段基本圖形來解決問題的教學目標。

關鍵詞：線段垂直平分線;基本圖形;空間觀念

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-12-06 文章編號：1674-120X（2020）16-0053-02

一、教學設計與思考

“線段垂直平分線性質”是新人教版數學八年級上冊第十三章第二節的內容。本節重點是線段垂直平分線定理，定理是證明兩條線段相等的依據;本節難點是線段垂直平分線性質的靈活應用。

本節課主要采用探究式教學模式。提出問題讓學生想，設計題目讓學生做，錯誤原因讓學生說，方法與規律讓學生歸納。教師的作用在于組織、點撥、引導，促進學生主動探索，充分發揮學生的主體作用，讓學生真正成為教學活動的主人。具體如下：①在回顧軸對稱圖形的基礎上引入垂直平分線的定義，由學生感興趣的游戲入手，把生活問題轉化成數學問題，讓學生探究解決問題，并完成證明，最后，由學生將上述過程用文字的形式進行歸納，即得出線段垂直平分線定理。探究式教學使學生克服思維惰性，獲得鍛煉機會，對定理的產生過程真正做到心領神會。②采用“類比”的學習方法，讓學生說出線段垂直平分線性質與角平分線性質的相同和不同之處，加深學生對點到點的距離的理解。下文中例1利用線段垂直平分線的基本圖形可直接獲得結論，鼓勵基礎較差的學生完成，獲得成功體驗;例2是例1的變形，需要在較復雜圖形中準確找到線段垂直平分線的基本圖形才能解決問題;例3是例2的升級，學生可構造線段垂直平分基本圖形去解決問題。此三題層層遞進，多角度多層次地加深了學生對線段垂直平分線基本圖形的理解與認識。

二、教學過程

（一）創設情境，引入新課

上節課我們共同探討了軸對稱圖形，那么大家想一想，什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？

如圖1，△ABC和△A'B'C'關于直線MN對稱，點A'，B'，C'分別是點A，B，C的對稱點，線段AA'，BB'，CC'與直線MN有什么關系？

設AA'交對稱軸MN于點P，將△ABC和△A'B'C'沿MN對折后，點A與A'重合，于是AP=A'P，∠MPA =∠MPA'=90°。所以AA'、BB'和CC'與MN的關系除了垂直，MN還經過線段AA'、BB'和CC'的中點。

對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點，并且垂直于這條線段。我們把經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。

【設計意圖】復習上節課學習的軸對稱圖形并引出線段垂直平分線的定義，強調垂直且平分這一條件，避免學生理解錯誤。

（二）探究新知

活動1：小聰在A處，小明在B處，他們兩人做搶禮物的游戲，問：禮物放在何處游戲才公平？

問題：①你能否把上述問題轉化成數學問題？②你認為禮物應該放在哪里？③如何快速準確地找到滿足條件的所有的點？

如圖2，作線段AB，過AB中點作AB的垂直平分線l，在l上取P1，P2，P3…，連接AP1，AP2，BP1，BP2，CP1，CP2…

問題：①你能不能用自己的語言表述你的發現？②你能否用數學語言表述你發現的規律？

探究結果：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等，即AP1=BP1，AP2=BP2…

【設計意圖】學生的空間知識來自豐富的現實原型，創設學生熟悉的現實問題情境是發展學生空間觀念的有效策略。此環節的目的是引導學生從現實情境中抽取空間圖形;再從復雜圖形背景中分解出簡單的、基本的圖形。

活動2：如圖3，已知直線l是線段AB的垂直平分線，垂足為點C，P是直線l上任意一點。

求證：PA=PB。

證法一：利用全等三角形性質。

∴?APC≌?BPC

∴PA=PB

證法二：利用軸對稱性質。

由于點C是線段AB的中點，將線段AB沿直線l對折，線段PA與PB是重合的，因此它們也是相等的。

總結歸納

（1）知識的角度。線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。用幾何語言可以表示為：

∵l是AB的垂直平分線， 點P為l上的任意一點（已知）

∴PA=PB（線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等）

（2）方法的角度。證明兩條線段相等多了一種比利用三角形全等性質更直接的方法。同時，線段垂直平分線性質反映的是平面中一種簡潔的軸對稱圖形。

【設計意圖】對定理的學習，目的是讓學生養成畫示意圖的習慣，并分析基本圖形中的基本元素及其關系。對基本圖形的理解利于學生掌握概念、尋求解題思路，同時也能讓學生體會到定理在后續應用中的重要性和學習的必要性。

思考：線段垂直平分線性質與角平分線性質有什么相同與不同之處？請畫圖說明。

【設計意圖】類比角平分線性質和垂直平分線性質的異同點，用圖示的方式理清概念內涵與外延之間的關系，讓學生明白線段垂直平分線性質指的是點到點之間的距離關系。

（三）典例分析

例1? 如圖4，已知DE是線段AB的垂直平分線，若AE=7，則BE=_________ 。

【設計意圖】理解基本圖形，并初步運用線段垂直平分線性質解決實際問題，本題是易題，鼓勵基礎差的學生完成，也是為以后的學習作鋪墊。

例2? 如圖5， 在△ABC中，AB=16，DE是線段AB的垂直平分線，△BEC的周長為26，求BC的長。

問題：①圖4和圖5有什么聯系？②你認為哪一個條件是解本題的關鍵？③圖中有相等的線段嗎？依據是什么？

【設計意圖】檢驗學生從較復雜的圖形中分解出線段垂直平分線的基本圖形的能力，引導學生在比較中發現基本圖形不同的形態，從而鞏固對線段中垂線性質的理解。

例3? 如圖6所示，在△ABC中，點D為線段AC的中點，DM⊥BC，延長BC到E，使得ME=BM，若∠E=∠CDM，試判定△ABC的形狀，并說明理由。

問題：①猜想△ABC是什么三角形？②如何判定三角形的形狀？③本題的關鍵條件是什么？④圖中有線段垂直平分線基本圖形嗎？如果沒有怎么解決？⑤還有其他辦法證明AB=BC嗎？你認為哪種辦法更簡便呢？

【設計意圖】本題是例2的升級，讓學生構造線段垂直平分線性質的基本圖形來解決問題，加深對線段垂直平分線性質的認識，引導學生從多角度認識基本圖形及其性質，同時讓學生認識到利用線段垂直平分線性質證明兩條線段相等比利用三角形全等性質更直接。

（四）作業設計

（1）如圖7所示，l是線段AB的垂直平分線，則PA=? ? ? ? ? ，理由是_________________。

【設計意圖】回顧線段垂直平分線的性質，鞏固對基本圖形的認識。

（2）如圖8所示，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關系？AB+BD與DE有什么關系？

【設計意圖】匹配例2，當堂訓練，當堂反饋，鞏固提升。

（3）如圖9所示，在△ABC 中，邊AB，BC的垂直平分線交于點P，求證：PA=PB=PC。

【設計意圖】匹配例3，檢驗學生能否靈活運用線段垂直平分線的性質。

（五）課堂小結

（1）小結問題：請畫圖并用幾何語言解釋“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等”的定理。

（2）談談本節學習的收獲，說說本節學習的難點，想想本節學習中未解決的問題。

本節課旨在發展學生的空間觀念：第一，從生活實際中抽象出幾何圖形，通過語言描述、歸納猜想、畫圖操作、推理證明等一系列活動，以及“三種語言”之間的相互轉化，多角度理解基本圖形，形成圖形認識，發展學生的空間觀念;第二，本節課在例題的選擇上遵循學生認知規律，分“直接應用基本圖形”“從復雜圖形中分離出基本圖形”“構造基本圖形”三個層次，逐步發展學生的空間觀念。

總之，教師應以學生已有的經驗與知識為基礎，強調基本圖形意識，培養和發展學生的空間觀念，建立幾何直觀，達到發展學生思維、促進學生技能提高的目的。

參考文獻：

[1]吳增生，劉 燕，劉智昊.幾何直觀及其在數學教學中的合理應用[J].中國數學教育，2016（11）：41-45.

[2]蘇興震.關注基本圖形 著眼知識生長——以“相似三角形的復習”為例[J].中國數學教育，2017（21）：36-39，43.