幾何直觀與空間想象雙宿直觀想象與核心素養雙飛

林冰芬

[摘要]直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，用于圖形理解和解決數學問題的過程。直觀想象是幾何直觀與空間想象觀念的發展和融合的產物。在課堂教學中，教師要活用教材，創設情境;精心設計問題，引導學生動手操作;借助幾何直觀，把問題圖像化;借助空間想象，讓問題直觀化。

[關鍵詞]直觀想象;幾何直觀;空間想象

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0081-02

“我決定將來送孩子去學畫畫，因為我覺得會畫畫的孩子空間想象能力比較好，對以后學數學有很大的幫助。”一位名校畢業的母親說。

“我覺得現在的孩子沒我們上學那會兒會畫線段圖，畫出線段圖后理解起問題來真的容易很多。”一位資深教師感嘆。

“老師，我還是想象不出來。”總有學生感到困惑。來自家長、教師、學生的心聲都在告訴我們，直觀想象能力是學生必不可少的能力。直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。直觀想象是幾何直觀與空間想象觀念的發展和融合的產物，是發現、提出、分析和解決數學問題的重要手段。那么，如何在課堂中培養學生的直觀想象能力呢？筆者以一線教師的視角，談談培養學生直觀想象能力的心得和經一、借幾何直觀，，把問題圖像化

幾何直觀是新課標新增加的重要概念之一，主要是利用圖形描述和分析問題。可見，幾何直觀是利用圖形洞察問題本質的一種方式，既有形象思維的特點，又有抽象思維的特點。幾何直觀能力可以使復雜的數學問題直觀化，抽象的數量關系形象化，從而實現問題與圖形之間的轉化，有助于探索解題的策略，那么，如何提高學生的幾何直觀能力呢？

1.動手操作，直觀感知

新課標解讀告訴我們：實踐是學生發展的新動力，只有讓學生動腦又動手，學生的各項能力才能得到發展。六年級學生的思維仍處在由形象思維向抽象思維過渡的階段，動手操作的目的就是要在腦海中形成圖像。因此，動手操作對學生建立概念有著極為重要的作用。

比如，圓錐體積計算公式的推導是重難點，教材要求學生用等底等高的圓柱、圓錐容器做實驗，學生也能順利探究出兩者之間的關系。但在實際應用中，學生對“等底等高”的理解不夠透徹，若重新設計實驗（給各小組不一樣的圓柱和圓錐容器，有的等底等高，有的等底不等高，有的等高不等底），這樣在匯報時各小組得出的結論也不一樣。教師順勢引導學生做實驗，把一個圓錐容器里的水倒人與之等底等高的圓柱容器里（此處重點對比，強調等底等高），看看這些水大概占圓柱容器的幾分之幾，倒幾次能倒滿。再把圓柱容器里的水倒回與之等底等高的圓錐容器里，看看倒幾次能倒完，最后得出結論。這樣一來，學生親手做過，直觀感受，就能更好地理解圓柱和圓錐的關系，計算圓錐體積時也不會忘了乘三分之一。

一次簡單的操作，一次由淺人深的直觀演示和講解，把抽象的知識慢慢內化成語言，最后歸納總結形成公式，學生在動手操作中直觀感知圓柱和圓錐的體積關系，也對轉化這一數學思想有了體會。

2.新舊鏈接，直觀理解

新課程理念強調：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。就學生的學習過程而言，某些舊知識是新知識的基礎，新知識就是舊知識的延伸和發展。

在“圓的面積”一課中，教師先讓學生回顧平行四邊形的面積公式是怎么推導出來的，再讓學生猜想：圓可以轉化成我們學過的哪種平面圖形？接著讓學生進行小組合作，通過剪、拼把圓轉化成以前學過的某種平面圖形，然后通過比較，發現轉化成長方形研究起來較為方便，最后借助課件，一起完成圓的面積公式的推導。這樣的教學安排既充分尊重學生的起：點，又實現新舊知識的自然鏈接，充分利用了已有的知識搭橋鋪路，在獲取新知識的過程中發展直觀。3.數形結合，直觀洞察

我國著名數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難人微。”這說明數與形的辯證關系以及數形結合的重要性。數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。多年的畢業班教學經歷讓筆者發現，總有一部分學生直到六年級仍然對乘法分配律不甚理解，導致計算出錯。有什么辦法可以幫助學生真正理解乘法分配律呢？

對于這個問題，人教版教數學材六年級上冊的“數學廣角——數與形”就是很好的學習資源，教材利用圖形幫助學生理解乘法分配律（如圖1）。從圖中可以看出：大長方形的面積等于（a+6）xc，大長方形還可以分成兩個部分，一個長是a、寬是c的長方形和一個長是6、寬是c的長方形，而大長方形的面積還等于ac+bc。直觀推理不愧是數學直觀的精髓，借助“形”的直觀來理解抽象的“數”，學生從直觀的圖形洞察到乘法分配律的內涵，在做乘法分配律的題目時錯誤率明顯降低了。

二、憑空間想象，助問題直觀化

德國大數學家希爾伯特曾這樣說起他的一位改行的學生：“他去當詩人了，關于數學，他太缺乏想象力了。”足以說明想象力在數學中的地位可見一斑了。而在學生想象力的培養中，空間想象力的培養是重難點。什么是空間想象力？空間想象力是人們對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和抽象的思維能力。那么，如何培養學生的空間想象能力呢？

1.直觀演示，形成空間意識

對圓面積公式的推導，大多都是借助教具展示，把一個圓剪拼成一個近似的長方形，然后告訴學生，等分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形，結果有大膽的學生提出疑問：“明明是拼成了一個平行四邊形，為什么分的份數多，就會拼成長方形？”可見學生難以展開正確、合理的想象，更別提空間觀念的形成了。幸好后來有了多媒體教學手段，利用課件多層次地把圓依次等分成若干偶數等份，隨著等分份數的增加，近似長方形的長由曲線變成直線，平行四邊形也逐漸變成長方形，到此，學生此前存在的困惑也解開了。

直觀的演示為學生積累了豐富的感知經驗，為大膽合理的想象提供了基礎，為學生逐步形成空間意識助力。

2.聯系生活，增強空間體驗

學生的空間觀念比較差，必須借助生活獲取的大量感性材料，增強空間體驗。課程標準告訴我們：教師應注重學生所學知識與日常生活的密切聯系，注重學生在觀察、操作等活動中，獲得的對簡單立體圖形和平面圖形的直觀經驗，從而建立初步的空間觀念。

在教學中，要將空間知識和現實生活聯系起來，增強學生直觀體驗，以便更好地解決生活中的各種實際問題。如“確定起跑線”一課，教師可以把學生帶到操場上，讓學生去實地考察，在“跑一圈”中更好地理解跑道全長，在“量一量”中更好地理解跑道的寬。

3.畫圖訓練，完善空間想象

在教學中我們發現，在解決一些實際問題時，往往是要求畫圖的，對部分學生而言，畫圖不僅不是解決問題的有效途徑，反而是累贅和負擔。也有一些學生明白畫圖能幫助他們更直觀地理解題意，卻不知從何畫起，也無法從圖中提取出有用的信息。

解決行程問題時經常要畫線段圖，線段圖能把復雜的問題直觀化，更容易突破難點。比如，兩車同時從A、B兩地相對開出，甲車每小時行駛48km，乙車每小時行駛54km，兩車在離中點36km處相遇，求A、B兩地的距離。這是一道較復雜的行程問題，學生光看文字，一下子理不清數量關系，于是就有了畫圖的動機，可大部分學生是把圖畫出來了（如圖2），卻還是找不出路程差。這時教師提示：“假設兩車是同向行駛的，可以怎樣調整線段圖？”然后利用課件把乙車輪走的路程移到甲車已走路程的下面，這下學生就能直觀看出乙車比甲車多走2個36km了（如圖3）。通過分析線段圖，將題目中的相關數量與直觀圖形對應起來，才能找到正確的解題思路。列式解答后，教師再讓學生看圖解釋每一步算式的含義，再一次借助圖形解釋數量關系，理解列式依據。最后，引導學生回顧和反思解決問題的過程，借助線段圖幫助學生進一步梳理解決問題的過程，感受畫線段圖的好處。

這樣的教學從解決實際問題的需要出發，緊緊圍繞畫圖和用圖展開，使學生在解題的過程中進一步學習畫線段圖的方法，積累一些借助線段圖直觀分析數量關系的經驗，并完善空間想象能力。

小學數學歷來以直觀認識、理解為主，而直觀經驗不是教出來的，是學生悟出來的，這就需要經驗積累，需要教師在課堂教學中活用教材，創設情境;精心設計問題，引導學生觀察和思考。讓學生在豐富的數學活動中積累直觀想象經驗，悟出門道，憑借幾何直觀與空間想象的雙宿，讓直觀想象與核心素養雙飛。

（責編 黃露）