基于分類討論思想的等腰三角形復(fù)習(xí)

盧浩挺

摘要：等腰三角形存在性問題是八年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)特殊三角形的過程中的重、難點(diǎn)。通過對不同問題背景下等腰三角形存在性問題的探討，來整體復(fù)習(xí)等腰三角形。在問題解決的過程中，明確了此類問題分類討論的依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生以點(diǎn)帶面，突破疑難問題，提升問題解決的能力，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理等素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：分類討論；等腰三角形；復(fù)習(xí)課；幾何直觀；邏輯推理

一、問題產(chǎn)生背景

“如何上好復(fù)習(xí)課”是擺在每位教師面前的一個(gè)問題。日常的復(fù)習(xí)課主要包括基礎(chǔ)復(fù)習(xí)課和專題復(fù)習(xí)課兩種類型，但是復(fù)習(xí)的針對性和效果往往并不理想。究其原因，主要在于教師對學(xué)情的把握不準(zhǔn)確，精心準(zhǔn)備的復(fù)習(xí)“大餐”并不符合學(xué)生的“胃口”，簡單的復(fù)習(xí)學(xué)生吃不飽，拓展的問題學(xué)生吃不消。那么，學(xué)生到底需要怎樣的復(fù)習(xí)來幫助他們鞏固提高呢？其實(shí)，學(xué)生日常的疑難問題就為教師“烹飪”出一桌“大餐”提供了豐富的“食材”。

筆者在上課時(shí)就遇到了這樣一個(gè)問題：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度數(shù)。很多學(xué)生的答案是∠B = 50°或20°。問其如何思考，他們還能自信滿滿的說是通過分類討論，如果∠B是底角，答案就是50°；如果∠B是頂角，答案就是20°。

八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)基本具有運(yùn)用分類討論思想研究問題的意識(shí)，但是很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)類似上面的問題，也就是分類討論不徹底。如果∠B是底角，可能∠A是頂角，也有可能∠C是頂角，因此還要二次分類。等腰三角形分類問題中能否避免二次分類就將問題解決？學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于分類的依據(jù)往往是等腰三角形的腰和底，或者是頂角和底角。如果要一次分類完全，必須要打破學(xué)生的思維定勢，重新確定分類討論的依據(jù)。為了幫助學(xué)生解決這個(gè)疑難問題，筆者設(shè)計(jì)了“基于分類討論思想的等腰三角形復(fù)習(xí)”這節(jié)課。

二、問題解決過程

1.提出問題

問題1：已知△ABC是等腰三角形，∠A = 80°，求∠B的度數(shù)。

生1：∠B = 50°或∠B = 20°。

師：你是如何得出這個(gè)結(jié)論的？

生1：我是通過分類討論，如果∠B是底角，那么就是50°；如果∠B是頂角，就是20°。

師：生1提出了研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法，即分類討論，生1的答案是否正確呢？

生2：應(yīng)該是∠B = 50°或∠B = 20°或∠B = 80°。

師：說說你的理由。

生2：如果∠B是底角，可能∠A是頂角，也有可能∠C是頂角，因此還要繼續(xù)分類討論。

師：也就是說需要進(jìn)行兩次分類。現(xiàn)在以數(shù)形結(jié)合的方式將生2的想法呈獻(xiàn)給大家，如圖1所示。

師：大家觀察圖1中最后的三個(gè)圖形，他們的頂角頂點(diǎn)有什么特點(diǎn)？給了你什么啟示？

生3：這幾個(gè)等腰三角形的頂角頂點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，C，我們是不是可以按照等腰三角形的頂角頂點(diǎn)進(jìn)行分類呢？

師：如果按照頂角頂點(diǎn)分類，我們?nèi)绾斡梅?hào)語言描述呢？

生4：頂角頂點(diǎn)確定了，就意味著等腰三角形的腰確定了，可以用兩腰相等去描述。例如，題中可以按照AB = AC，AB = BC，AC = BC來分類。

師：很好，老師先把你的想法寫下來。

問題2：如圖2，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)。已知點(diǎn)A，B是兩格點(diǎn)，若點(diǎn)C也是圖2中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，試找出所有的點(diǎn)C。

生5：若AB為腰，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與正方形網(wǎng)格相交于兩個(gè)格點(diǎn)，同理以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與正方形網(wǎng)格也相交于兩個(gè)格；若AB為底邊，則作AB的垂直平分線，又有四個(gè)交點(diǎn)，具體如圖3所示。

師：你是如何進(jìn)行分類的？分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

生5：將AB分別作為等腰三角形的腰和底邊，如果AB是腰，還得分別把點(diǎn)A，B作為頂角頂點(diǎn)進(jìn)行討論。

師：很好！生5利用兩次分類把問題解決了。

生6：按照剛才角的分類，我發(fā)現(xiàn)對邊進(jìn)行分類可以通過一次分類完成，就是分別以點(diǎn)A，B，C作為頂角頂點(diǎn)來進(jìn)行分類討論。

師：非常好！對于等腰三角形的分類討論問題，無論是已知一個(gè)角還是一條邊，都可以用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生利用已有經(jīng)驗(yàn)去嘗試解決問題，并且不讓學(xué)生止于問題的解決，而是去尋找不同問題的內(nèi)在規(guī)律。在等腰三角形的相關(guān)問題中，分類討論是一類常見的問題，無論是角的分類，還是邊的分類，兩者都有內(nèi)在聯(lián)系——相同的分類標(biāo)準(zhǔn)（如圖4），讓學(xué)生充分感受分類的過程，經(jīng)歷不同方法的思維碰撞。

2.形成方法

師：老師把剛才兩個(gè)問題的兩種不同方法展現(xiàn)給大家，大家比較前后兩種分類方法，你更喜歡哪一種？為什么？

生7：我更喜歡第二種，也就是以等腰三角形的頂角頂點(diǎn)作為分類依據(jù)，因?yàn)橹灰M(jìn)行一次分類就可以了，而且不重不漏。

師：在研究等腰三角形的邊角分類問題時(shí)，我們的確經(jīng)常按照等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，從兩腰相等進(jìn)行分類討論，可以簡化我們的思考過程，并做到不重不漏。我們今天就用這種方法來解決一些問題。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷不同方法的形成過程，并對兩種方法進(jìn)行比較和優(yōu)化，得出適合自己的最佳方法。羅增儒教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該在目標(biāo)的引領(lǐng)下，通過任務(wù)驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生用自己的方法去經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程。相信通過已知和新知的碰撞，能夠助推學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升。等腰三角形分類討論問題中的分類標(biāo)準(zhǔn)的確立，為后續(xù)的實(shí)踐應(yīng)用奠定了良好的基礎(chǔ)。

3.實(shí)踐應(yīng)用

應(yīng)用1：若以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A，B位置如圖5所示，試在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使△ABP是一個(gè)等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？試畫出來。

生8：這里兩個(gè)點(diǎn)是確定的，先以點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)，即AB = AC，此時(shí)以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；再以點(diǎn)B為頂角頂點(diǎn)，即AB = BC，此時(shí)以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)。以點(diǎn)C為頂角頂點(diǎn)時(shí)，即AC = BC，點(diǎn)C是在AB的中垂線上，作出中垂線后發(fā)現(xiàn)與坐標(biāo)軸分別又有2個(gè)交點(diǎn)，所以一共有8個(gè)交點(diǎn)。

師：非常好！同學(xué)們現(xiàn)在可以準(zhǔn)確應(yīng)用分類討論的思想，利用“兩圓一線”模型來解決問題。老師現(xiàn)在對這個(gè)問題稍加處理，你們看看還能解決嗎？

師：生9將這個(gè)過程分析得很透徹，這個(gè)問題的本質(zhì)與前面的問題相同，也就是有兩個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)不確定（動(dòng)點(diǎn)）時(shí)，依然要用到按照等腰三角形的頂角頂點(diǎn)，從兩腰相等的角度進(jìn)行分類討論。如果讓兩個(gè)點(diǎn)動(dòng)起來會(huì)怎么樣？

應(yīng)用3：如圖6，點(diǎn)P，Q分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ。點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A后兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。試問多少秒后△APQ為等腰三角形？

師：在只有一個(gè)定點(diǎn)的情況下，我們該怎么辦？

生10：還是要分情況討論。

師：還能用“兩圓一線”模型嗎？

生11：不能，但是依然可以按照我們之前確定的分類依據(jù)進(jìn)行討論。

師：誰來試試？

師：生12利用分類討論思想，結(jié)合方程思想解決了這個(gè)看起來有些復(fù)雜的雙動(dòng)點(diǎn)問題。這樣看來，只要我們抓住問題的本質(zhì)，合理選擇分類的依據(jù)，這種看似高不可攀的難題也能快速形成思路，后續(xù)的計(jì)算等學(xué)習(xí)了二次根式以后會(huì)更簡單。

【設(shè)計(jì)意圖】分類討論思想在不同的知識(shí)背景下均有涉及，如格點(diǎn)、直角坐標(biāo)系、兩定一動(dòng)、兩動(dòng)一定等，通過三個(gè)遞進(jìn)的應(yīng)用題目讓學(xué)生感受無論問題怎么變，數(shù)學(xué)本質(zhì)始終沒有變，分類討論的核心是分類標(biāo)準(zhǔn)始終沒有變。在不同的問題情境中，學(xué)生鞏固了等腰三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)一步滲透了分類討論思想、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想.

三、反思

1.復(fù)習(xí)課接地氣，疑難問題巧成素材

一節(jié)復(fù)習(xí)課所承載的內(nèi)容畢竟有限，需要教師更加用心地去挑選學(xué)生喜愛的“食材”。因此，課堂所呈現(xiàn)的內(nèi)容必須接地氣，能夠幫助學(xué)生解決他們的疑難和困惑。在日常教學(xué)中，教師要多留心學(xué)生的問題，多注意難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，將這些問題巧妙地融入到復(fù)習(xí)課中。例如，分類討論是等腰三角形中常見的一類問題，也是熱門考點(diǎn)。如何進(jìn)行分類討論是思維上的難點(diǎn)，學(xué)生常常因?yàn)闆]有合適的分類標(biāo)準(zhǔn)而出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解。學(xué)生日常的分類角度并不能準(zhǔn)確地解決現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)問題，因此需要打破學(xué)生的思維定勢，重新研究和發(fā)現(xiàn)分類標(biāo)準(zhǔn)，指導(dǎo)學(xué)生方便、快速地解決等腰三角形中常見的分類討論問題，這樣的復(fù)習(xí)課學(xué)生才有興趣，課堂才有效率。

2.復(fù)習(xí)課顯靈氣，以點(diǎn)帶面幫助提升

一節(jié)成熟的復(fù)習(xí)課，不僅需要選擇合適的切入點(diǎn)，而且需要整合相當(dāng)?shù)馁Y源，照顧不同層次學(xué)生的不同需求。盡管筆者舉例的這節(jié)課是以分類討論為主線展開的，但是里面結(jié)合了等腰三角形的性質(zhì)、判定，兩圓一線，兩定一動(dòng)，兩動(dòng)一定，方程和二次根式等問題，內(nèi)容豐富，有一定的思維含量。幫助學(xué)生梳理出分類討論的標(biāo)準(zhǔn)后，學(xué)生顯得非常有靈氣，一些平時(shí)讓學(xué)生“聞風(fēng)喪膽”的問題也變得相對容易，以分類討論這個(gè)點(diǎn)帶動(dòng)等腰三角形整個(gè)面的復(fù)習(xí)、鞏固，最終提高了學(xué)生解決問題的能力。

3.復(fù)習(xí)課攢底氣，方法遷移所向披靡

對于很多學(xué)生而言，有時(shí)復(fù)習(xí)課上與不上沒有區(qū)別，會(huì)的本來就會(huì)，不會(huì)的還是不會(huì)，復(fù)習(xí)課沒有起到應(yīng)有的作用。復(fù)習(xí)課往往是題目的堆砌，內(nèi)容廣而散，不能有效帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，自然談不上高效。復(fù)習(xí)課所承載的作用應(yīng)該是為學(xué)生后續(xù)解決問題攢足底氣。一節(jié)高效的復(fù)習(xí)課會(huì)促進(jìn)學(xué)生思維質(zhì)的飛躍，能夠切實(shí)提升學(xué)生解決問題的能力，同時(shí)幫助學(xué)生利用所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行知識(shí)和方法的遷移，最終讓學(xué)生能在數(shù)學(xué)的天地中自由翱翔，在數(shù)學(xué)問題的洗禮中所向披靡。

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