用幾何直觀提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

何曉玲

摘? 要 小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，運(yùn)用幾何直觀可幫助學(xué)生有效地將形象思維過渡到抽象邏輯思維，可以讓學(xué)生調(diào)動(dòng)各種感官，充分體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，獲得生動(dòng)的表象，建立數(shù)學(xué)模型，并能熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的問題。

關(guān)鍵詞 幾何直觀;課程標(biāo)準(zhǔn);數(shù)學(xué)模型;學(xué)習(xí)能力;核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2020）01-0065-03

1 錯(cuò)題分析

五年級(jí)下冊期末考試中有這樣一道題目：

一個(gè)長方體，如果增高4 cm，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)表面積比原來增加了96 cm2。原來的長方體的表面積是多少平方厘米？

這道題全班有14人做錯(cuò)，是整張?jiān)嚲礤e(cuò)誤率最高的題目，錯(cuò)誤率達(dá)到28.6%，錯(cuò)誤類型有下面幾種情況。

1）思路不清晰。一個(gè)學(xué)生的解答過程如下：

①96÷6=16（cm2）;

②16×16×6=1536（cm2）;

③（16×16+4×16+4×16）×2=768（cm2）;

④1536-768=768（cm2）。

在這個(gè)學(xué)生的解答中，可發(fā)現(xiàn)他的第一步算式是沒有算理的。他把96當(dāng)作一個(gè)正方體的表面積，除以6得出16，看作一個(gè)面的面積;但后面又將16當(dāng)成正方體的棱長，也就是長方體的長與寬;第三步又把“增高4 cm”這個(gè)數(shù)據(jù)當(dāng)作長方體的高。因此，整個(gè)思路非常混亂。

2）表面積公式不熟，數(shù)據(jù)用錯(cuò)。

錯(cuò)題一：

①96÷4=24（cm2）;

②24÷4=6（cm）;

③6-4=2（cm）;

④（6×6+6×6+6×2）×2=168（cm2）。

錯(cuò)題二：

①96÷4=24（cm2）;

②24÷4=6（cm）;

③6-4=2（cm）;

④（6×2+6×2+2×2）×2=56（cm2）。

在第一個(gè)學(xué)生的解答中，第一、二步的解答思路沒問題，求出的“6”既是正方體的棱長，又是原來長方體的長和寬;第三步求出的“2”是原來長方體的高;但在第四步運(yùn)用表面積計(jì)算公式時(shí)，沒有想清楚原來長方體的長、寬、高分別是多少，正確的解答應(yīng)是（6×6+6×2+6×2）×2=120（cm2）。第二個(gè)學(xué)生的解答也存在類似的錯(cuò)誤。

3）沒有解答完整。有一個(gè)學(xué)生的解答如下：

①96÷4=24（cm2）;

②24÷4=6（cm）;

③6-4=2（cm）。

從這個(gè)學(xué)生的解答中可以看出，他知道一些解答步驟，但求出這些結(jié)果后，不知這些結(jié)果能做什么，屬于思路不清晰、解答不完整。

對以上分析進(jìn)行反思：到底要教給學(xué)生怎樣的學(xué)習(xí)能力？怎樣提升學(xué)生的核心素養(yǎng)？筆者認(rèn)為運(yùn)用幾何直觀能很好地幫助教師解決這個(gè)困惑。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀是學(xué)生空間觀念形成的基礎(chǔ)。小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，幾何直觀能力是思考數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)，是學(xué)生必備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師在教學(xué)中應(yīng)充分運(yùn)用幾何直觀使知識(shí)形成生動(dòng)表象，形成概念，促進(jìn)學(xué)生有效思維，提高學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

2 借助實(shí)物操作，直觀感受表面積變化規(guī)律

1）引導(dǎo)學(xué)生用兩個(gè)或幾個(gè)相同的正方體實(shí)物進(jìn)行分與合，發(fā)現(xiàn)每合一次，表面積之和會(huì)減少兩個(gè)面;每分開一次，表面積之和會(huì)增加兩個(gè)面，如圖1所示。

在這個(gè)基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：如圖2所示，一個(gè)正方體的棱長是a厘米，每增加一個(gè)正方體，表面積增加多少平方厘米？通過動(dòng)手拼擺、計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，小組合作探究，交流討論，展示不同的思路。

【生1】從圖2a到圖2b，表面積之和減少兩個(gè)面，所以可以用6a2×2-2a2=10a2

【生2】可以先找出每幅圖長方體的長、寬分別是多少。從這四幅圖中可以看出，圖2b的長是2a厘米，圖2c的長是3a厘米，圖2d的長是4a厘米;寬和高不變，都是a厘米。運(yùn)用長方體的表面積公式計(jì)算，圖2b的表面積是（2a×a+2a×a+a2）×2=10a2，同樣計(jì)算方法可以算出圖2c、圖2d的表面積分別是14a2平方厘米，18a2平方厘米，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多了4a2平方厘米。

【生3】從圖中可以看出，每個(gè)圖形露出的正方形的個(gè)數(shù)是有規(guī)律的，不變的是左右兩個(gè)面，變的是每次多了前、后、上、下四個(gè)小正方形，只要算出每個(gè)長方體是由幾個(gè)這樣的小正方形圍成的，再乘每個(gè)正方形的面積，就可以算出表面積了。圖2c有3×4+2=14個(gè)小正方形，長方體的表面積就是14a2平方厘米;如果是圖2f，就有6×4+2=26個(gè)小正方形，長方體的表面積就是26a2平方厘米。

教師再拋出問題：如果是n個(gè)小正方體拼成的長方體，它的表面積是多少平方厘米呢？有了前面的基礎(chǔ)，學(xué)生就能很快地推理出n個(gè)長方體表面積為（4n+2）a2平方厘米。

長方體或正方體的拼擺過程真正讓學(xué)生動(dòng)手去操作，通過摸、擺、拼、剪等具體行動(dòng)，讓學(xué)生感知表面積中的變與不變，通過操作、觀察、分析等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生主體真正的發(fā)展，教學(xué)才能真正有效落實(shí)。

2）將兩個(gè)相同的長方體不同方向拼擺，找分與合表面積的變化。

拼一拼、說一說：如圖3所示，將兩個(gè)完全相同的長方體合在一起，表面積之和會(huì)發(fā)生什么變化？你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生動(dòng)手操作，獨(dú)立思考，小組合作探究，交流討論，發(fā)現(xiàn)有三種不同的拼擺方法，表面積減少是不同的：將最大的面合在一起，表面積減少的最多;將最小的面合在一起，表面積減少的最少。反過來，如果將一個(gè)長方體截成兩個(gè)長方體，表面積增加最多的就是平行于最大的面切開，表面積增加最少的就是平行于最小的面切開。

3 用幾何直觀促知識(shí)的理解與內(nèi)化

在教學(xué)五年級(jí)下冊“長方體和正方體”這個(gè)單元的知識(shí)時(shí)，學(xué)生第一次接觸立體圖形，對空間的想象有很大的難度。因此，多讓學(xué)生動(dòng)手摸一摸、擺一擺、涂一涂、折一折，豐富學(xué)生的表象，多角度地觀察與思考，找到解決問題的方法。在這個(gè)單元中，學(xué)生最不易掌握的就是長方體的表面積計(jì)算，因?yàn)楦鶕?jù)生活實(shí)際情況，有求表面積有六個(gè)面，也有求五個(gè)面（無蓋、粉刷教室等），還有可能求四個(gè)面（煙囪、餅干盒貼商標(biāo)等）。在求長方體四個(gè)面（前后左右）的面積時(shí)，很多學(xué)生會(huì)用“長×高×2+寬×高×2”，或者用“（長×高+寬×高）×2”這兩種方法。教師這時(shí)可讓學(xué)生拿一個(gè)沒有上、下底的紙盒沿高展開，發(fā)現(xiàn)展開圖是一個(gè)大的長方形，這個(gè)長方形的面積就是前后、左右四個(gè)面的面積之和，如圖4所示。

這個(gè)長方形的長就是長方體底面周長，寬就是長方體的高，所以這四個(gè)面的面積之和還可以通過“底面周長×高”計(jì)算出來，也說是用“（長+寬）×2×高”來計(jì)算四周的面積，在此基礎(chǔ)上加上面的面積和下面的面積，就可以求出表面積。這樣就將求長方體的表面積轉(zhuǎn)化成求一個(gè)平面圖形的面積。通過讓學(xué)生動(dòng)手剪一剪、擺一擺、比一比，學(xué)生掌握了多種求表面積的方法，并能結(jié)合直觀圖有理有據(jù)地說出自己的想法。

4 學(xué)會(huì)用畫圖方法幫助理清解題思路

除了動(dòng)手操作充分感知，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用圖來分析題意、理解題意、理清解題思路，能主動(dòng)用圖說事、用圖分析、用圖說理。學(xué)生的作圖能力不是與生俱來的，他們需要教師正確的引導(dǎo)與示范，并進(jìn)行學(xué)習(xí)與練習(xí)。教師可在學(xué)生大量觀察各種各樣的長方體、正方體實(shí)物或模型的基礎(chǔ)上，提出問題：在觀察長方體、正方體時(shí)，最多能看到幾個(gè)面？

如圖5所示，教師示范畫出能看出三個(gè)面的長方體、正方體，先畫正面（長方形或正方形），再畫另兩個(gè)面（平行四邊形），并在合適的位置標(biāo)上數(shù)據(jù)。讓學(xué)生學(xué)著畫，教師要鼓勵(lì)學(xué)生，對畫得好的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，展示其作品;對畫得不夠好的學(xué)生，應(yīng)指出不足在哪里，并引導(dǎo)他重新畫，直到畫好為止。

學(xué)生在根據(jù)題意會(huì)畫圖的基礎(chǔ)上，還要看懂圖意，會(huì)分析、理解圖意。如這道題：

一個(gè)長方體，如果增高4 cm，就成為一個(gè)正方體，這時(shí)表面積比原來增加了96 cm2。原來的長方體的表面積是多少平方厘米？

根據(jù)題目的描述“一個(gè)長方體，如果增高4 cm，就成為一個(gè)正方體”，作圖時(shí)就可先畫出一個(gè)正方體，然后標(biāo)出增高的4 cm，這樣就把正方體分割成兩個(gè)長方體，如圖6所示。從圖6中可以看出，每個(gè)長方體都有兩個(gè)相對的面是正方形，長和寬是相等的，前、后、左、右四個(gè)面的面積是相等的。

增高4 cm，表面積增加96 cm2，增加的面積在哪兒呢？這是本道題解題的關(guān)鍵。因此，畫出圖后會(huì)正確地看圖，是每位學(xué)生必須掌握的本領(lǐng)。教師在引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形之后，思考問題：增高之后，表面積增加在哪兒呢？學(xué)生經(jīng)過思考、討論、交流發(fā)現(xiàn)，表面積并沒有增加六個(gè)面，因?yàn)閮蓚€(gè)長方體拼在一起后，中間兩個(gè)面合在一起隱藏了，不能算表面積的一部分，這樣下面這個(gè)長方體只剩前、后、左、右、下等五個(gè)面。如果要使下面一個(gè)長方體的表面積不變，就要將上面一個(gè)長方體的上面割補(bǔ)移到下面長方體的上面（抵消法），真正多出來的表面積只有上面長方體的前、后、左、右等四個(gè)面，如圖7所示。

如圖8所示，這道的解題思路是：

①先求每個(gè)面的面積（或展開圖的底面周長）：96÷4=

24（cm2）;

②再求長方體的長或?qū)挘?4÷4=6（cm）;

③再求原來長方體的高：6-4=2（cm）;

④最后求原來長方體的表面積：

s=（ab+ah+bh）×2

=（6×6+6×2+6×2）×2

=120（cm2）

用幾何直觀畫圖理解有關(guān)“增高”引起表面積增加的問題，也可以解決“降高”引起表面積減少的問題。通過對比發(fā)現(xiàn)，不管是“增高”還是“降高”，表面積始終變的只有四個(gè)面的面積，都可以先找展開圖的底面周長或者每個(gè)面的面積，這就是這道題的解題關(guān)鍵。這樣就建立起數(shù)學(xué)模型，以后遇到類似的題目，都可以用這個(gè)數(shù)學(xué)模型去解決。

教師通過安排合理的操作環(huán)節(jié)，給學(xué)生提供更多親自動(dòng)手實(shí)踐的機(jī)會(huì)，同時(shí)給學(xué)生提供了更大的思維空間。在動(dòng)手操作過程中，學(xué)生就會(huì)把操作與思維聯(lián)系起來。動(dòng)手操作可以使學(xué)生對知識(shí)產(chǎn)生新的理解和看法，進(jìn)一步理解和鞏固知識(shí)，還能夠在新的發(fā)現(xiàn)、新的感悟中碰撞出創(chuàng)新意識(shí)的火花。

5 結(jié)語

總之，幾何直觀能利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀，讓學(xué)生用摸、擺、拼、剪等動(dòng)手操作形成生動(dòng)、豐富的表象，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。幾何直觀可以幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，感知知識(shí)的形成過程;可以幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的問題。“授之以魚，不如授之以漁。”教師不但要善于使用幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用幾何直觀學(xué)習(xí)，用畫圖的方法分析題意、理解題意、理清解題思路，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].課程·教材·教法，2012（7）：92-97.