幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用分析

摘?要：隨著教育改革的深入推進，現代教育更加重視學生綜合能力的發展。一次函數屬于初中數學的重點教學內容，通過對數字、符號和圖像之間的有效融合表示數量關系，而利用幾何直觀思想通常能實現對其相關問題的有效解決。本文主要分析了幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用。

關鍵詞：初中數學;一次函數;幾何直觀

受傳統教育理念和教學模式的影響，部分初中數學教師在教學活動中并未關注學生學習能力與學科素養的發展，沒能形成有效引導，單純采取題海戰術提高學生的學習成績。然而，在求解某些復雜一次函數實際問題時，很多學生表現出無所適從，如何通過一次函數內容教學促進學生幾何直觀能力的發展，值得我們深思。

一、 幾何直觀

新課標（2011版）中對幾何直觀的定義：通過圖形描述與分析問題。通過對幾何直觀的利用可以將一些復雜而煩瑣的數學問題變得簡單而形象，有利于縷清解題思路。應用幾何直觀能夠有效幫助學生更為直觀地對數學知識形成理解，在整個數學學科的學習歷程中均發揮著十分重要的作用。

數學學科研究的內容較多、范圍較大，其研究對象中有些可以直接被人所看到或摸到，但絕大部分研究對象既看不見也摸不著，很難通過直接觀察獲得其結論，這也是數學學科最為主要的特征之一。然而，數學知識來自生活，因此這些抽象問題絕對不是無源之水，其根源應該是具體的，而此種具體指的可能是一些具體的圖形、圖標、模型或者實物。所以，若想實現對一些抽象數學問題的有效解決，我們首先需要探尋其根源，也就是怎樣利用幾何直觀去解決抽象問題，而對數學問題具體根源探尋的過程便稱之為幾何直觀應用能力，它屬于新課程標準中對于數學學科教學培養的重要目標之一，對學生學科素養的形成與發展至關重要。有學者提出幾何直觀的主要表現形式包括圖像、語言、模型以及實物，其中最為簡單的表現形式為圖像與實物。

作為初中數學學科的重點教學內容之一，一次函數知識的掌握效果對于學生解決實際問題和今后學習活動的開展將起到決定性作用。雖然在學習過程中學生可以通過以往所學知識對一些簡單的問題進行求解，但在面對復雜問題時，對幾何圖像的利用能使題目變得更加簡單，充分突顯出幾何直觀的關鍵作用，促進學生數形結合能力的發展。

二、 幾何直觀在解決一次函數實際問題中的應用

（一）勻速運動中路程和時間函數關系

一次函數與圖像信息相關的題目中，路程問題屬于最為常見的一種題型，相應函數圖形也具有較強的直觀性：當自變量（時間）為0，相應縱坐標便表示路程的出發點，而時間終止時相應縱坐標則為路程終點。倘若運動全過程以均勻速度行進，圖像則表現為直線，兩條直線之間的交點則為物體運動過程相遇的時間與地點。出于上述鮮明而直觀的特征，使多數路程問題均可通過函數圖像輔助解題過程。

【例1】?甲、乙兩輛卡車分別從距離20km的A、B兩地同時出發，并相向而行。如圖1所示，其中l1和l2分別代表甲、乙兩車離開出發地距離s和行駛時間的函數關系。①哪輛卡車行駛速度更快？②多長時間之后甲車可以行駛至A、B兩地中點位置？③多長時間之后兩車距離為5km？

分析：在對第三小題進行求解的過程中，很多學生會通過“數”的角度解題。由于此題為路程問題中的相遇問題，先求出甲車速度為20÷0.6=1003（km/h），乙車速度為20÷0.5=40（km/h），兩輛車首次相距5km時，它們共行駛了20-5=15（km），則可求出經過時間為15÷（40+100/3）=9/44（h）;當兩車再次相距5km的時候，它們共行駛了20+5=25（km），因此經過的時間是25÷（40+100/3）=15/44（h）。

以上解題過程屬于通過數學邏輯思維對實際問題加以解決的有效應用，但在教學過程中教師還要關注引導學生對函數問題和圖形之間的有效融合，使他們通過圖形去思考與研究數學問題。對于例1，可以引導學生通過對直觀函數圖像的分析，設時間為x，分別列出兩條直線的解析式，即y1=-40x+20和y2=（100/3）x，則縱坐標為-40x+20和（100/3）x，依據兩車距離為5km，則可列出|（-40x+20）-（100/3）x|=5，所計算出的x值則為問題答案。

雖然很多學生會由于接觸函數的時間較短，不大習慣于利用此種解題方法，但通過對兩種方法的對比，能使他們了解到第二種解法更具直觀性和簡便性。在教學實踐中，教師應該關注對學生邏輯推理能力與幾何直觀能力的綜合培養，使學生充分體會問題解決思路和方法的多樣性，促進其創新意識和能力的發展。

（二）存蓄總量隨時間變化函數關系

這一類題型對應的函數圖像同樣具有較強的直觀性，在圖像當中能夠清晰看出某一時刻的存蓄總量。倘若學生在解題過程中能夠實現對圖形合理的應用，便能準確把握存蓄總量在大于或者小于某個量時相應的時間，對于促進學生思維的完善化發展具有良好幫助。

【例2】?某個容器同時配有進水管和出水管，從某一時刻開始3分鐘之內只進水而不出水，隨后9分鐘之內進水和出水同時進行，每分鐘進水量與出水量均為常數。容器當中水量y和時間x的關系如圖2所示。當容器中水量超過5升時，求其時間x的取值范圍。

分析：此題給出由兩個一次函數所組成的分段函數，并給出一個確定的水量值y=5升，將其分別代入到兩個函數的解析式當中，便可求出相應自變量數值（也就是橫坐標x的值），隨后將兩個橫坐標之間的差值求出即可。從題目所給出的圖像可以看出，在y=5升時，對應著兩個x值，所以所求出的結果應該介于一個區間（也就是時間段）。通過適當的幾何圖形對題目進行解釋，可以有效啟發學生的思路，幫助他們更好的記憶和理解一些抽象的數學知識內容與方法。

（三）分段函數中函數值大小的比較

在“一次函數與方程、不等式”一課中，有很多方程或者不等式都是利用“形”加以解決的，使學生充分感受到“以形助數”所帶來的直觀性。但在教學活動中發現有部分學生會出現疑惑：利用我們之前學習的方法就可以解決方程或者不等式，那為何還要通過“形”解題呢，難道這不是將簡單問題變得復雜了嗎？基于此，教師可以通過對某些案例的呈現使大家體會其實用性和便捷性。比如在分段函數相關的實際問題當中，倘若通過此種直觀思想思考問題，便能實現對復雜問題的簡化，繼而優化解題效果。

人教版初中數學教材在一次函數內容中設置了一道有關上網收費方案選擇問題，建模過程中可以分別列出三個一次函數，而其中兩個函數屬于分段函數，倘若就“數”的角度進行分析，便要對yA、yB和yC三者之間的大小進行比較，這一過程需要對多個方程與不等式進行計算，不管是解題思路還是計算過程都較為煩瑣，無疑會給學生帶來較大的心理負擔。倘若將三個函數在同一個坐標系中繪制出相應圖像（如圖3所示），便可實現對這一問題的有效解決。

依據本課所學知識點，將函數圖像交點位置作為分界，兩側較高位置的函數值較大，也就是相應收費方案更貴，反之則表示便宜。通過幾何直觀，能使一些抽象的數學問題變得直觀化、簡單化，因此對數學對象直觀模型的構建屬于充分發揮其作用的關鍵。此種解法正是對直觀模型的利用，更能符合初中階段學生的最近發展區，對學生解決問題能力的提升提供幫助，并為他們理解所學知識的本質奠定基礎。

（四）由特征點著手分析圖形運動變換規律

從特殊到一般，再從一般到特殊這一反復認知的過程屬于人類認識客觀世界的規律。而數學學科來源于人類長時間的生產生活實踐，對數學知識的認識也應該結合這一普遍規律。不管哪種幾何圖形，它都是由一些最基本的點所構成的，在解決幾何圖形問題的時候從特征點著手以研究圖形的運動規律，往往會使問題變得十分簡單，優化學生的解題思路。

【例3】?已知有直線y=x+2。①在y大于1時，求x的取值范圍;②在x大于等于0時，求y的取值范圍。

分析：問題一學生在之前的學習中已經接觸過，可以利用類比思想進行解答，而問題二可以通過多種方法進行解答。方法一：通過y=x+2變形可得x=y-2，由于x≥0，因此y-2≥0，可解出y≥2;方法二：在x=0時，得到y=2，由于k=1>0，y會隨著x的增大而增大，因此在x≥0時，y≥2;方法三：繪制圖像（如圖4所示），通過圖像特征點進行解題。找出直線當中x≥0的邊界點（0，2），通過對圖像的觀察發現直線當中此點右側全部點橫坐標均大于0，而這些點的縱坐標則都大于2，繼而得出原題結論。

三、 結語

總而言之，通過幾何直觀能夠實現對一次函數實際問題的有效解決，促進學生解題思維的優化發展，在其腦海中構建起更為完整的知識結構，對學生學科素養的形成與發展具有良好的推動作用，值得廣大數學教師投入更多時間和精力對其應用方法進行深入研究。

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作者簡介：

洪莎莎，江蘇省南京市，南京市第二十九中學。