優化作業設計 助力數學學習

曹如祥

摘要：數學作業是學生學習數學知識、提升數學能力必不可少的一項數學學習活動，也是引導學生課前先學，驅動學生課中優學，推動學生課后再學的關鍵環節，因而如何優化作業設計，助力學生更加有效地學習數學，進而提升能力和素養。

關鍵詞：數學作業;作業設計;個性學習

數學作業是由教師設計、學生自主完成的數學學習活動，一般可分三類：閱讀作業、口頭和書面作業、實習作業。數學作業是學生學習數學知識、提升數學能力必不可少的一項數學學習活動，也是引導學生課前先學，驅動學生課中優學，推動學生課后再學的關鍵環節，因而如何優化作業設計，助力學生更加有效地學習數學，進而提升能力和素養，是當前數學老師必須直面的一個重要問題。本文結合筆者多年實踐，談談一些做法。

一、 優化課前作業設計，誘發學生學習熱情

教育理論認為設計合理的問題，創設適量的作業能激發學生強烈的學習欲望，能激發學生學習的內在動力，讓他們積極主動地參與到知識的發生、發展的探究中去，體會數學源于生活的道理。

在設計課前作業時，應遵循以下原則：

（一）生活、趣味性

數學源于生活，又服務于生活。新課程需要科學世界向生活世界的回歸，強調情境創設的生活性，所以，要注重學生的生活實際，要發現、挖掘學生的日常生活中的資源。課前作業是對上課基本知識的提前了解，這就需要學生對知識點有興趣，如果能把課前作業與日常生活相聯系，無疑是一種好辦法。

案例1：學習二分法時，可設計如下一些作業：

①一條長為100km的供油線路中有一處出現故障，如何迅速查出故障所在？要把故障可能發生的范圍縮小到50m～100m左右，要檢查多少次？“故障”又怎樣查出呢？若要求誤差不超過1m，要檢查幾次？

②如何將x0所在的區間盡量縮小？x0所在的區間縮小到什么程度為止呢？進一步回答下列問題：什么叫二分法？用二分法求方程近似解的步驟是什么？

通過創設如上與生活相關的作業，可以極大提高他們學習二分法的興趣，進而帶動他們進行數學思考。

（二）通俗、簡明性

所列的問題要通俗易懂，簡明扼要，有利于學生讀取問題中的基本信息和問題的解決。抽象的問題要具體化，復雜的問題要簡明化，深奧的問題要簡單化。

案例2：在學習“復數”時，可設計下一些作業：

方程x2=-1，在實數范圍內無解，但在人類的生活、生產和科學研究中又常見，怎樣解決這個問題？

通過回憶數的發展、增強研究數的發展規律的探索的認識，對數的發展增強了興趣和記憶。

（三）沖突、針對性

創設課前作業時，應該圍繞學習目標，選擇有針對性、對學生有認識沖突的問題進行作業設計，能使學生在自主探索、合作交流的過程中初步了解數學知識和技能，使課前預習更具實效。優化預習作業設計，一定要精心備課，精研教材，不能讓學生無章可循。

案例3：學習集合的表示法時，提出以下作業：

1. 在初中我們曾用0，1，2，3…表示自然數，但是在拋物線y=2x-1上的點的集合、實數集等又怎樣表示呢？

2. 在初中人們常說不等式-2x-1≥0的解集為 x≤- 1 2 ，但在高中這樣的說法是不恰當的，究竟應該如何表示這個集合呢？

進一步回答下列問題作業：

3. 什么是列舉法？舉例說明如何用列舉法表示集合？

4. 什么是描述法？舉例說明如何用描述法表示集合？

通過初高中的對比，讓學生對集合的學習產生濃厚的興趣，增強學習的效果。

二、 優化課中作業設計，驅動學生主動探究

為了不斷激發學生學習的興趣，引導學生將學習深入推進，較充分體現課改所倡導的學生學習的自主性、探究性，教學時“隨時隨地”適時設計出“大、小”有層次的問題、作業，引導學生一步一步深入地理解、探究，進而發現問題、分析問題和解決問題，建構知識體系，發展能力。在設計課中作業時，應遵循的原則有：探索性、規律性、層次性、小專題型、適用性、嚴謹性和思想性。①探索性指所設計的問題和作業要有一定的內含，沒有現成的答案，需要去分析探索的;②規律性指所設計的問題和作業不僅要符合學生的認知、發展規律，也要符合出題規律;③層次性指所設計的問題和作業要由易到難的梯度，使不同層層次的學生都有收獲;④小專題型指所設計的問題和作業應體現小專題的形式出現，才使零碎的問題和作業有一定的系統性;⑤適用性指所設計的問題和作業能適合全體學生的實際水平，以保證使絕大多數學生在課堂上處于參與狀態;⑥嚴謹性指所設計的問題和作業在一些細節上故意犯錯，讓學生發現，再共同糾錯，加深對問題的認識，形成嚴謹的學科態度;⑦思想性指所設計的問題和作業不僅要體現數學的思想方法，也要體現人生的價值意義，體現情感態度、價值觀。

案例4：在學習選修2-3《二項式定理的證明》的作業

問題1. （a+b）2展開式中各項是怎樣構成的？展開式共有幾項？

問題2. 計算（a+b）3，能否回答下列：

①合并同類項之前展開式有多少項？

②各項的系數為多少？

③從上述三個問題，你能否得出（a+b）3的展開式？

問題3. 仿照上述過程，請你推導（a+b）4的展開式。

問題4. 仿照上述過程，請你推導（a+b）n的展開式。你能證明這個結論嗎？

問題5.

（1）觀察“楊輝三角”發現規律

①第一行中各數之和為多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎樣的結論？

②觀察第2行中2與第1行各數之間什么關系？

第3行中3與第2行各數之間什么關系？第4行中的4、6與第3行各數之間有什么關系？由此你能得出怎樣的結論？

（2）楊輝三角的特點

①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數相等。

②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和。融入數學文化，進行德育教育。

問題6. 觀察（a+b）n的展開式，總結二項式定理的特點？

①二項展開式共有n+1項。

②各項中a的指數從n起依次減小1，到0為此，各項中b的指數從0起依次增加1，到n為此二項式系數Cn0，Cn1，Cn2，…，Cnn。

③二項式系數對稱性。

④二項式系數增減性與最大值。

⑤各二項式系數的和2n。

通過楊輝三角的學習理解二項式定理的理論依據。

問題7. 求（1+0.01）100近似值。

情境回歸，讓學生知道知識的應用，激發學習興趣。通過（1+0.01）100≈2.7，教育學生“每天進步一點點，一百天后進步了近3倍！”，理解每天努力的重要意義。

三、 優化課后作業設計，促進學生個性學習

課后作業是學生鞏固課堂知識，提高能力的有效途徑。在設計課后作業時，應遵循的原則：①基礎性與多樣性相結合。學生在接受能力方面存在著個體差異。重視學生的個性發展，針對學生學情，設計不同層次的作業，以滿足不同學生的需要，讓中等以上的學生持續保持學習的勁頭，而相對落后的學生也能看到自己的進步，樹立自信。②針對性與實效性相結合，即要求作業要針對學習的重點、難點，學生學習中的共性進行設計，并且及時布置。布置作業務必重視針對性與實效性相結合，才能真正提高學生的數學水平。③特殊性與規律性相結合，在作業的布置過程中，注意作業的常見問題和處理問題的一般方法與特殊方法。④易錯、易混與科學性、嚴謹性相結合。通過作業中易錯題、易混、疑難題的練習設計不僅讓學生進一步掌握了本單元的知識，而且提高了學生學數學的興趣。同時也培養了學生的嚴謹性的數學思維，科學的學科態度。

案例5：在《必修5》基本不等式的教學后，可布置以下分層作業：

（一）作業（A層）必做題

①下列結論正確的（? ）

A. 當x>0且x≠1時，lnx+1lnx≥2

B. 當x>0時，+1x≥2

C. 當x>5時，x+1x的最小值是2

D. 當x<0時，x+1x無最大值

②求函數f（x）=x+1x-4（x>4）的最小值。

③已知0

（二）作業（B層）選做題

①已知x>0，y>0，x+y=1，求2x+4y的最小值。

②已知x+3y-2=0，則關于3x+27y的說法正確的是 （? ）

A. 有最大值6

B. 有最小值2 3

C. 有最小值6

D. 有最大值2 3

③已知x>2，求函數y=x2+4x+2 x的最小值。

（三）作業（C層）課外思考題

①若對任意x>0，x+1 x2+3x+3≤2a-1恒成立，求a的取值范圍。

②已知x>0，y>0，且不等式1 a+1 b+k-2 a+b≥0恒成立，求k-1的最小值。

③設x，y∈R，xy≠0，則x2+1 y21 x2+4y2的最小值為。

這種“自選式”作業，減輕了學生負擔，保證了全體學生在不同目標下學有所得。從作業完成情況來看，上交的數量更多了，差生的解題正確率也明顯提高。

四、 優化復習作業設計，引導學生反思學習

艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，在學習中的遺忘是有規律的，如不抓緊復習，課內外為課堂教學的努力就降低了上課的效率，所以在一定階段后要通過單元作業進行鞏固學習，根據單元難點、重點、高考地位、常見題型，單元學習中產生的問題和學生學習中產生的共性問題，布置階段性的單元作業，驅動能對問題進行較高水平探究和變換，能對問題進行較高水平歸納和總結，驅動學生自我反思，自我提高，進一步提升課堂效益。

案例6：如在《必修5》二次不等式的教學過后一段時間里，可設計以下單元作業：

1. 解不等式：①2x2-x-1≥0;②-x2-2x+8>0;③（x2-2）lnx>0

2. 不等式組x2-4x+3<0x2-6x+8<0的解集是不等式2x2-9x+a-1<0的解集的子集，求a的取值范圍。

3. 如果關于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|xn}（m0。

4. 若不等式2x-1>m（x2-1）對滿足|m|≤2的所有m都成立，求x的范圍。

5. 解關于x的不等式x x-1<1-a。

6. 設函數f（x）=|x2-6x+5|。

①在區間[-2，6]上畫出函數f（x）的圖象;

②當k>2時，證明在區間[-1，5]上，y=kx+3k的圖象位于函數f（x）圖象上方。

這種遞進式題組呈現給學生，為學生進行有目的、有方向的縱向探討或橫向思考創造機會。最終達到鞏固、提升單元教學要求的目的。

以問題為切入點來創設作業，以作業為載體，來激發學生的求知欲，旨在提高課堂效益，培養解決問題的實踐能力，驅動學生的主觀能動性，切實解決高效課堂理念融入學科教與學，讓學生在學習中獲得個性發展，全面發展。

參考文獻：

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