談排列組合問題的若干解題策略

吳桐

摘要：排列組合是我們高中數學教材中非常重要的模塊，也是高考必考的模塊。它的內容相對獨立，又具有邏輯性，題型千變萬化，是教學的難點之一。所以在學習的時候要掌握方法，這樣才能提升邏輯思維能力、抽象能力、數學建模能力，培養數學核心素養，促進學生全面發展。本文將對高中排列組合常見題型和方法進行總結，幫助同學們克服這一難點。

關鍵詞：排列組合;解題方法;實踐探究

中圖分類號：G643.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）22-054-2

排列組合是高中數學中非常重要的模塊，如果只按照常規方法解題極易出錯，所以教師要打破傳統的教學理念，啟發學生自主學習，引導學生發掘排列組合的不同解題思路，從而實現自身解題水平的提升。排列組合的學習，如果緊緊圍繞“分類相加、分步相乘;有序排列、無序組合”這十六字方針，不僅能取得事半功倍的效果，而且能形成良好的數據分析及數學運算能力，同時對于其他部分的知識點也能達到舉一反三的效應。

一、學會分類分布是基礎

一般情況，分類問題用加法，分步問題用乘法。那么何時用加法，何時用乘法呢？分類與分步的區別在于某一方法若能單獨完成目標結果則屬于分類，反之則屬于分步。并且分類問題中每一種方法之間是彼此互相平行、互不影響的，而分步問題中每一個方法之間是承上啟下、缺一不可的關系。例1：（1）若現在從哈爾濱出發去北京，可選擇的交通工具有飛機、高鐵、動車、普快、自駕，問一共有多少種出行方式？結果顯然是將所有種類相加，共5種。（2）若從哈爾濱出發去北京，中間需在天津轉車，從哈爾濱至天津有3種出現方式，從天津至北京有5種出行方式，問從哈爾濱至北京共有多少種出行方式？結果為15種。

二、區分排列組合是重點

排列組合的定義都是從n個元素中選取m個不同元素，不同之處在于排列是將m個元素排成一列，而組合則是將m個元素組成一組。要深入了解排列組合的區別，要明白當元素的順序改變對結果造成影響那么為排列問題，反之當順序的改變對結果沒有影響則為組合問題，即“有序排列、無序組合”。例2：乘坐動車從哈爾濱出發去北京，沿途共設有10個停靠站（含起始站），問（1）鐵路部門需要為這段旅程準備多少種車票？分析：一張車票由出發站和終點站決定的，那么從這10個站點當中任意選取2個站點都可以構成一種車票，并且當改變出發站和終點站的順序會影響車票的結果，故此題為排列問題，答案為A210。（2）鐵路部門需要為這段旅程準備多少種票價？分析：此題與上一問不同之處在于從車票變成了票價，一張車票的票價是由距離決定的，即使改變出發站和終點站的順序，但不影響最后的結果，故此題為組合問題，答案為C210。排列注重元素的差異性和順序性，組合則沒有要求。遇到復雜的排列組合問題則需要采取一定的方法將問題簡單化，下面講述常見的解題思路。

三、利用解題策略是突破

排列組合題目比較抽象且靈活多變，同學們通常都很難掌握，但只要對排列組合的解題方法對號入座，看到問題自然能迎刃而解。

1.特殊元素優先排

在排列組合問題中如果題目對某個特殊元素有要求，我們必須先考慮優先安排特殊元素，然后再考慮其他元素的排列組合問題。例3：甲、乙、丙、丁、戊五所高校組織軍訓聯合匯演，其中有3所本科院校、2所專科院校，每個學校有一個方陣，5個方陣按照一定的順序參加檢閱。（1）要求甲第一個或最后一個出場，求檢閱的情況數？分析：根據題意的要求甲必須在首位或末尾，則甲為特殊元素優先排，有2種排列方式。當甲元素排完之后再把其他4個元素進行全排列，總共有種C12A44。

2.相鄰元素用捆綁

捆綁法對于解決排列組合問題是非常有效的手段，我們首先應從整體考慮，將題目中要求相鄰的元素捆綁成一個新的獨立的元素，然后與其他元素形成排列關系，最后再對捆綁部分的元素展開排序，最終得到結果。例3：（2）要求甲、乙的出場順序相鄰，求檢閱順序的情況數？分析：首先把甲乙看作一個整體，使其和其他剩余的3個元素進行排列，共有A44種方式。別忘了甲乙內部還有A22種，那么根據分布原理共有A44A22種方式。

3.不相鄰元素用插空

在解決排列組合元素不相鄰問題時可采用插空法進行解題，首先將沒有限制條件的元素進行排列組合，然后將指定的不相鄰元素直接插入到已排好元素的間隙或兩端，這就是插空法。例3：（3）要求甲、乙的出場順序不相鄰，求檢閱順序的情況數？分析：本題利用插空法先將沒有限制的丙丁戊三個元素進行排列，有A33種方式，這三個元素中間加兩端有4個空，然后將不相鄰的甲乙放在其中2個位置上，有A24種方法。最后便可以得到答案為A33A24種。

4.正難則反用排除

對于某些排列組合問題，如果直接分析情況數有很多就不易解決，若換個角度運用反向思維進行思考就會使問題變得容易，這樣可以先求出不符合問題的答案，然后再從總的求法中減除反向答案，這樣結果會做到不重不漏。例3：（4）匯演結束后，選出2所學校評為優秀匯演院校，求至少有1所專科院校的選法有多少種？分析：此題問法中關鍵字為“至少”，所以可采用排除法解題。從整體5所學校當中選出2所的方法為C25種，1所專科學校都沒有的方法為C23，所以至少有1所專科院校的選法為C25-C23種。

5.相同元素用隔板

隔板法適用于相同元素的分配問題，對于一些名額指標分配、小球裝盒等，需要構造情景，將所有的元素先排成一列，然后再在各元素間的空隙中（不包括兩端）插入隔板，這樣就將元素分成了你想要的幾個部分。通常將n個相同的元素分配成m份，可以看作在n-1個空隙中，插入m-1塊隔板，因為元素相同所以沒有順序，故有Cm-1n-1種分法。例4：學校購買了20套完全相同的桌椅，分給七、八、九年級，按照需求量的不同，七年級至少分3套，八年級至少分4套，九年級至少分2套，問有多少種不同的方法？分析：由于題目要求至少3套、4套、2套，我們不妨把他們都變成至少1套，即先給七年級2套，給八年級3套，九年級1套。問題轉化為共有14套桌椅分給三個年級，每個年級至少一套的不同分法。將14套桌椅排成一列，除了首尾中間共有13個空隙，從中選2個插入隔板，將其分為三組，不同的插法就是不同的分配法，有C213種不同的方法。

綜上所述，早在小學的計數問題和初中的不定方程問題，我們就開始接觸排列組合思想，到了高中階段，排列組合又和概率的學習密不可分;甚至于社會的各個行業，也可以利用排列組合的思想去解決問題。在教學過程中，教師應該以學生為主體，引導學生自主學習，一方面是要求學生充分掌握教材的理論知識和解題方法，另一方面是培養學生數學思想和數學核心素養，以此提升他們的邏輯思維能力和創新能力。高中階段的學生在面臨排列組合問題時可能會由于思考不全面，造成解題失誤。本文將常見的幾類排列組合問題進行了歸納總結，學生應當加強相關的練習，這樣才能掌握題型特征做到舉一反三。排列組合的邏輯性、抽象性很強，學好這部分的知識對于后續知識點的學習也是有所裨益。希望通過本文可以打開排列組合的大門，從而享受數學世界的美好。

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（作者單位：哈爾濱師范大學，黑龍江哈爾濱150025）