皮之不存 毛將焉附

葉建生

[摘要]一次函數是學生在初中數學接觸到的第一種函數類型，也是初中數學中“數形結合”數學思想的第一次完美展現。熟練掌握一次函數圖像的畫法，對于理解一次函數的幾何意義，解決一次函數相關問題有畫龍點睛、事半功倍的作用。本文就從三種畫法講起，層層遞進，利用圖形對比闡述三種畫法的優越性，幫助學生深刻理解一次函數圖像的性質，以便學生能在不同題目背景下選擇不同的畫法，以達到巧妙、快速解決數學問題的目的。

[關鍵詞]一次函數;課堂教學;感悟

一、三種畫法的綜合闡述

（一）多點法畫一次函數圖像

采用多點法畫一次函數圖像是學習一次函數圖像的基礎，盡管比較煩瑣，但對于初學函數圖像的學習而言意義重大。其真正作用有四點：一是學生能通過多點法畫圖感悟到一次函數圖像的詳細形成過程，利于學生對函數性質的理解;二是學生能掌握畫函數圖像的基本方法（列表、描點、連線），為今后反比例函數圖像學習和二次函數圖像學習做鋪墊;三是學生通過細致的作圖過程，能夠形象化地觀察到函數圖像上點的橫、縱坐標的變化情況，深刻理解函數圖像的實質;四是學生通過對不同k、b值的一次函數作圖，理解y=kx+b（k≠0，k、b為常數）中k、b兩個元素對于函數圖像的影響。

（二）兩點法畫一次函數圖像

兩點法畫一次函數的圖像的理論依據是“兩點確定一條直線”。從這個層面講，我們可以提前讓學生模糊地體會到代數知識與幾何知識的聯系（一次函數在高中階段歸類到解析幾何的范疇），這種影響是潛在的，便于學生構建數學知識體系，對于幫助學生樹立大數學觀理念具有深遠的意義。就兩點法畫一次函數圖像而言，究竟如何選取兩個點才最優化？任意選還是找關鍵點？這就要求我們引導學生積極探究、深入討論，最終歸納、提煉出有效方案。課堂教學實踐證明，大部分學生能迅速有效選取圖像與x軸和v軸的交點為最佳點。因為與x軸的交點，點的縱坐標為0，與y軸的交點，點的橫坐標為0。

（三）簡易法畫一次函數圖像

簡易法畫一次函數圖像，其主要體現的數學思維是逆向思維。也就是說，在學生充分掌握y=kx+b（k≠O，k、b為常數）中k、b兩個元素意義的前提下，簡潔、快速地畫出一次函數的草圖，有利于學生解決實際數學問題。在平時的練習題或綜合測試題中，往往需要我們畫出一次函數草圖來解決問題，而沒必要畫出精確圖形。從另一個側面看，學生能否快速根據一次函數表達式確定出圖像所經過的象限，也是檢驗學生是否掌握好本知識點的一個重要標準。

二、三種畫法的實際解題價值

（一）三種畫法的關系

多點法、兩點法、簡易法三種畫圖方法之間存在緊密的內在聯系，猶如新課標中提到的知識、能力和技能三者的關系一樣。多點法是畫圖基礎;兩點法是畫圖能力提升;簡易法則是畫圖技能展現。這三種畫法，由簡單向難自然過渡，體現了知識的層層遞進性，這從根本上也符合初中學生的數學認知習慣。

（二）三種畫法在解題過程中的實效價值

從整個初中數學教材編排順序來看，一次函數的學習放到了初中函數類知識學習的最前面，這符合學生的思維習慣。因為，一次函數圖像的畫法可為其他類函數圖像的畫法提供參考，能對學生在學習其他函數圖像時起到觸類旁通的作用。

單就本節課一次函數圖像的三種畫法來看，多點法是精確畫法，要求學生能夠熟練掌握。學生掌握好它的現實意義在于能夠直觀地感受到直線上點的橫縱坐標的變化，同時也能感受到一次函數表達式中k值對于圖像的影響。即：k的值關系到直線的傾斜程度（也就是高中知識所談到的斜率）。當然，對初中學生，我們不直接說出斜率這個概念，我們僅要求學生了解一下。譬如在給學生解釋k的意義時，我采取兩種解釋方法，一種方法是k>0，圖像必經過一、三象限，k<0，圖像必經過二、四象限。第二種方法是k>0，直線與x軸正方向的交角是銳角，k<0，直線與x軸的交角是鈍角。這樣解釋的好處在于便于學生理解和掌握，同時也為高中知識中直線斜率的提出埋下了伏筆。如下圖：（k>0時，直線必經過一、三象限）（k>0時，直線與x軸正方向的交角是銳角）

（k<0，直線必經過二、四象限）

（k>0時，直線與x軸正方向的交角是鈍角）

兩點法在學生解決實際數學題目中應用較廣，掌握它的意義在于既不像多點法作圖那樣煩瑣，又不像簡易法作圖那樣隨意，介于兩者之間。它能使復雜的問題簡單化，簡單的問題具體化。尤其是直線與x軸和v軸的兩個交點，更能體現兩點法畫一次函數圖像的精髓。兩點已確定，直線位置隨之確定，直線與兩坐標軸圍成的三角形也隨之確定，可謂一箭雙雕。其實，在解決一次函數簡單題目或綜合性題目的過程中，我們發現應用最多的還是簡易法畫一次函數的草圖。畫函數圖像的草圖最直接的感受就是有效提高解題速度。當然，前提是學生必須真正掌握一次函數表達式中k、b的意義。簡易法作圖是一次函數作圖學習中的神來之筆，即考查了學生掌握一次函數基本知識的程度，又考查了學生應用知識解決問題的能力。

三、三種畫法的教學感悟

（一）更加清醒地認識到本節課在本章中的地位

一次函數圖像畫法的復習課結束后，我進一步體會到本節課在本章知識學習中的重要作用，因為只有掌握了函數圖像的畫法，學生才能夠深刻理解函數的性質，從而為一次函數更高層次的學習夯實基礎。如：一次函數與二元一次方程的關系;一次函數與一元一次不等式的關系;一次函數與反比例函數、二次函數的綜合題的解答等，都特別強調兩點法和簡易法畫一次函數圖像的重要性。

（二）我的教學設計感悟

我在設計本節課時，仔細研究了新課標，認為本節的重點是：一是通過列表、描點、連線教會學生用多點法畫一次函數的圖像，并與學生一起總結一次函數圖像的相關性質。二是讓學生理解圖像上的點的坐標與函數表達式之間的關系。三是引導學生熟練掌握用兩點法和簡易法畫一次函數圖像。

教學環節設計，我分為五步：

1.通過學生閱讀課本，初步理解函數圖像的畫法，并通過舉例讓學生了解學習函數圖像畫法的重要作用。

2.通過實例向學生展示如何精確畫一個一次函數的圖像，并引導學生從中總結出利用多點法畫函數圖像的一般步驟。并先由學生歸納，后由教師總結出畫函數的三個步驟：列表、描點、連線。

3.讓學生獨立完成例題畫圖，并從中發現學生在畫圖過程中可能存在的問題，做個別指導，并抽出典型問題進行講解。

4.通過課件展示，一步步和學生共同探討畫一次函數圖像的另外兩種方法（兩點法和簡易法）。

5.升華提高，利用課件很直觀地展示不同一次函數的圖像，進一步幫助學生了解一次函數中k、b兩個元素對圖像的影響。

四、結語

在教學過程中，每節課總會有一些不盡如人意的地方。所以，如何有效調動他們的學習參與積極性是我今后備課過程中要多思考的地方。此外，由于本節課設計量大，我講得太多，學生課堂練習相對較少，學生自主學習的時間和空間被抑制，以后要盡可能精選例題，由學生自己完成三種畫法的知識體系建構。