數學核心素養下的“平面的基本性質”教學案例分析

仲小麗

【摘要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》界定了數學核心素養的含義，教師應結合相應的教學內容，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程，不斷探索和創新教學方式，引導學生會學數學，努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學.

【關鍵詞】核心素養，數學抽象，邏輯推理，直觀想象

一、引 言

《普通高中數學課程標準（2017年版）》[1]界定了數學核心素養的含義，提出了六個數學核心素養——數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，并闡述了每個數學核心素養的內涵、價值、表現和目標[2].

筆者近期參加了南京市“深度研課”項目活動，并有幸上了一節公開課《平面的基本性質》.從備課、研課、磨課到上課的一系列活動經歷中，筆者受益匪淺.在備課的過程中，筆者認真研讀了教材、教學參考書、課程標準等相關資料，結合自己對教材的分析和理解、對學生的了解以及教材大綱的要求，筆者有了自己的教學思路，設置了本節課的教學目標如下：通過實驗1對“筆尖上的點與硬紙片的位置關系”的分析，讓學生能夠判斷筆所在直線與硬紙片所在平面的位置關系，并歸納出公理1，通過實驗2分析兩個矩形硬紙片的位置關系，讓學生根據平面的“無限延展性”，從看得見的“一個公共點”出發，找出兩個平面的其他公共點，進而歸納出公理2，通過實驗3對“保持硬紙板的穩定性”的探究分析，讓學生能夠初步判定“不共線的三點可以確定一個平面”，歸納出公理3.

二、課堂實錄1

下面是第一次試講的兩個教學設計片段：

片段1：

師：工人師傅為了檢查桌面是否“平整”，常常將一把直尺靠放在桌面上，看直尺與桌面之間是否有空隙，你知道這是為什么嗎？

我們通過一個小實驗來尋找木工師傅這么做的原理.

實驗探究1：如果把硬紙片看作一個平面，把手中的筆看作一條直線的話.

（1）你能使筆上的一個點在平面內，而其他的點不在平面內嗎？

（2）你能使筆上的兩個點在平面內，而其他的點不在平面內嗎？

設計意圖 將筆抽象成一條直線，硬紙片抽象成一個平面，通過筆和硬紙片的位置關系直觀感受直線和平面的關系，降低公理學習的難度，調動學生學習的積極性，激發學生學習的興趣.

師：這兩個問題以及它們的答案能告訴我們什么？

生：（預設）如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線就在這個平面內.

師：很好?。ò鍟?/p>

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.

師：現在能解釋工人師傅那么做的理由了嗎？

生：（預設）如果桌面是平的，那么直尺（直尺所在直線上所有的點）就全部落在平面內，不會有空出來的部分，有空隙就說明桌面是不平的.

師：說得很好.其實，這條性質是通過直線的“直”來說明平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來說明平面的“無限延展”.

對于平面的“無限延展”，大家還可以思考這個問題：一個平面可以將空間分成兩個部分，若要從平面的一側到達另一側，能否繞過去？結論是不可能，只能穿過去.

那么平面的這條性質還有哪些作用呢？

生：（預設）這條性質為我們提供了判斷一條直線是否在平面內的方法，同時也為我們在平面內畫一條直線提供了理論依據.

片段2：

師：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么兩點可以確定一個平面嗎？多少個點可以確定一個平面呢？

師：這樣吧，我們動手來做一個數學小實驗，看看到底多少個點可以確定一個平面？

實驗探究3：用你手中的筆尖，將一塊硬紙板穩定在空中的某一個位置，使其保持水平平衡，你能做到嗎？請同學們動手做實驗，相互討論交流，最后請學生代表分析并展示結果.

設計意圖：學生通過做數學實驗，（用筆尖將一塊硬紙板平衡在空間某一位置，至少需要幾支筆？）體會數學源于生活又高于生活，讓學生在操作、觀察中感悟確定一個平面的條件，學生間相互合作、相互提問，從感知到認知到理解，層層深入，挖掘出公理3的真正內涵.

師：請一名同學來談談你們的看法.

生：（預設）至少需要三支筆才能將硬紙板穩定在空中某一個位置，并且保持水平平衡.

師：如果把硬紙板看作一個平面，將筆尖看作一個點，能用一句話歸納你們的發現嗎？

生：（預設）三點確定一個平面.

師：任意三點都可以確定一個平面嗎？

生：（預設）不是的，如果這三個點在同一條直線上就無法確定一個平面.（能舉個例子嗎？）比如，用兩個合頁可以將門軸固定，此時，經過門軸所在直線的平面有無數多個，所以，門可以打開到任何一個位置，但是，再加一把鎖就將門固定住了，就是因為兩個合頁、一把鎖可以看成是不共線的三個點，它們確定了一個平面，門就不好動了.

師：這名同學抓住了問題的本質：三點不一定可以確定一個平面.那么，正確的表述應該是什么呢？

生：（預設）經過不在同一條直線上的三點，有一個平面.

師：經過不共線三點的平面有多少個呢？

生：（預設）只有一個.

師：很好?。ㄑa充規范并板書）

公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.

師：過一點的平面有多少個？過兩點的呢？

過一點、兩點以及同一直線上的三點都可以有無數個平面，只有過不在同一條直線上的三點才有且只有一個平面，而四個（及以上的）點不一定在同一個平面內.

師：你能用這條性質解釋生活中的一些現象嗎？

生：（預設）照相機支架只需要三條腿就夠了，自行車只要一個腳撐就能將車停穩.

師：這條性質是確定平面的依據，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一個”是指平面是唯一的.

三、教學思考

由于教學對象整體基礎一般，因此，課堂的實際生成與教學預設并不一致，導致教學效果并不理想.

在片段1中，首先，一些學生不會將“手中的筆看成一條直線”.對他們來說，“如果筆上有兩個點在平面內”，那么還可以有無數個其他的點不在這個平面內，因此，在實際教學中只能將公理1硬灌輸給學生，效果甚微，其次，學生的實際水平還達不到能夠用新學的公理1來解釋木工師傅檢查桌面是否平整的原理.

片段2的教學設計是一種比較理想的狀態，實際操作時卻出現了意想不到的狀況，一些學生會想辦法用一支筆的筆尖將硬紙板平衡在空中：由于硬紙板有一定的厚度，質量分布相對均勻，因此，通過找到硬紙板的重心，將筆尖戳進紙板就可以將硬紙板平衡在空中的某個位置了，這完全偏離了課堂的教學軌道，學生卻沾沾自喜.

（一）教學反思

課后筆者做了深刻的反思，并與同行教師做了交流探討，剖析這節課中存在的種種細節問題，試圖尋求更合理、更有效的教學方法，能夠讓學生真正理解平面的基本性質.

本節課的知識是立體幾何的邏輯起點，在教學設計中要體現立體幾何的整體意識，給學生足夠的時間去思考分析，針對學生的實際情況設計臺階，循循善誘，因人施教.因此，教學的落腳點不能僅定位于性質的應用，而應借助平面基本性質的學習，滲透公理化思想，形成有理有據、嚴謹求實的學習態度.在此基礎上，筆者設計了有利于培養學生直觀想象、邏輯推理和數學抽象核心素養的教學目標：（1）通過生活中熟悉的模型，提煉、抽象、概括出平面的描述性定義，（2）通過作圖活動“在平面內畫一條直線”，能夠利用直線的“無限延伸”說明平面的“無限延展”，從而歸納出公理1，（3）通過作圖活動“用圖形表示空間當中兩個不重合的平面”，從看得見的“一個公共點”出發，找出兩個平面的其他的公共點，進而歸納出公理2，（4）通過觀察、猜想，感悟“不在同一條直線上的三點可以確定一個平面”，再通過實驗驗證，在合作學習和相互提問中從感知到認知到理解，體會公理3的真正內涵，（5）通過知識與能力的螺旋式上升，逐步理解文字語言與符號語言、圖形語言之間的一一對應，建立和提升學生的空間想象能力和幾何直觀能力，為知識的進一步發生奠定生長點.

（二）課堂實錄2

最后呈現出來的部分課堂實錄如下：

學生活動1：你認為平面是什么樣的？請你用直尺和鉛筆在學案上畫一個平面.

設計意圖：學生對平面是有一些感覺的，只是很難用語言表示出來，這里筆者做了一個大膽的嘗試，根據學生已有的生活經驗和數學知識的積累，給予學生足夠的時間來分析和思考問題，讓學生自己畫一個平面，提升直觀想象素養.

學生活動2：請在你剛剛畫的平面內畫一條直線.（學生畫圖，教師收集、展示.）

下面展示幾種學生具有代表性的作圖（圖3）：

問題1：怎樣說明你畫的直線上所有的點都在這個平面內呢？

問題2：請歸納一下我們剛才的發現：

補充、規范得到公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.

公理1實際上是用直線的無限延伸來說明平面的無限延展.

設計意圖：根據學生的作圖，以啟發式的語言展開師生之間的對話，展示學生的想法，在分析交流中一步步引導學生用規范的語言和圖形來描述直線和平面，感知通過直線的“無限延伸”來說明平面的“無限延展”，提升學生的邏輯推理和數學抽象素養.

公理1的符號語言：

根據公理1，我們可以判斷一條直線是否在一個平面內，同時，我們也有了在一個平面內畫一條直線的依據：只要有兩個點就可以了.

學生活動4：

（1）我們知道兩點可以確定一條直線，那么兩點可以確定一個平面嗎？

（2）多少個點可以確定一個平面？

（3）過任意的三點都有一個平面嗎？

（4）你能用一個例子來說明你的觀點嗎？

（5）經過不在同一條直線上的三點的平面有多少個？

（5）請用數學語言來描述剛才的發現.

設計意圖：從學生熟悉的“兩點確定一條直線”出發，提問學生“兩點是否可以確定一個平面？”“多少個點可以確定一個平面？”等等.以問題串合理設計臺階，問題層層遞進，引導學生一步一步深入思考，在師生、生生的對話交流間將問題層層剖析，既符合學生的最近發展區，又能激發學生學習的熱情和興趣.

教師補充規范并板書：

公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.

過一點的平面有多少個？過兩點的呢？

過一點、兩點以及同一直線上的三點都可以有無數個平面，只有過不在同一條直線上的三點才有且只有一個平面，而四個（及以上的）點不一定在同一個平面內.

你能用這條性質解釋生活中的一些現象嗎？

這條性質是確定平面的依據，其中“有且只有”的“有”是指平面存在，“只有一個”是指平面是唯一的.

四、寫在課后

基于核心素養的教學，教學活動的設計要以學生為主體，要符合學生現有的知識水平、遵循學生的認知發展規律，否則，看似“理想”的教學設計在課堂上會遭到“破壞”.實踐表明，經過重新設計的教學活動更加尊重學生的思維發展，更有利于學生形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力，學生在問題探究中領悟知識，形成能力，積累從具體到抽象的活動經驗，運用數學抽象的思維方式思考并解決問題，直觀想象是發現和提出問題、分析和解決問題的重要手段，貫穿在整節課堂中，讓學生在具體的情境中感悟事物的本質.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]羅增儒.基于核心素養的教學研修——在“核心素養背景下數學教師的專業發展”（南京）會議上的發言（整理）[J].中學數學教學參考，2018（9）：5-10.