二次函數在生活中的建模應用

沙之超

【摘要】數學建模是培養學生創新意識和應用能力的重要載體，本文通過對二次函數知識點的研究，采用相應的教學方法，體現二次函數在生活中的建模應用，由簡入難地驅動學生完成相應的目標任務，由此激發學生的學習興趣，培養學生的實踐和創新能力.

【關鍵詞】二次函數，建模，任務驅動，應用教學

函數是重要的數學思想，在實際生活中充當了數學建模的重要工具，因此，二次函數的課程中，有大部分內容都擁有很強的理論性，具有一定的抽象性，故而在學生普遍對二次函數在生活中應用興趣不濃，覺得乏味枯燥，這就需要在二次函數在生活中的應用中構建數學模型，將建模思想引入實例中，發現問題并能解決問題，這樣不僅能提升二次函數的趣味性，更能提高學生分析問題和解決問題的能力.數學建模思想在二次函數中的應用，對教學效果有很大幫助，與此同時利用任務驅動的教學方法，可以大大增加學生學習二次函數的理論知識和實踐生活的應用的學習興趣，讓學生參與數學建模解決實際問題的整個過程，體驗二次函數的應用價值.

一、任務設計

某設計公司在一次商品推介會上為了抓住商機，專門設計了一款產品，其成本為20元/件，請為該公司考慮如何定價、定量，才能使得該公司的利潤最大化.

提出問題：每件產品有固定的成本，那么該產品的利潤和什么掛鉤？

將學生進行分組，小組討論，歸納并總結討論的結果：與生產的單價、產品的質量、銷售量等等相關.通過學生的參與，教師進行相應的總結，假定排除一些不必要的因素，只考慮與生產和銷售相關的因素，那么不難得出利潤=銷售總價-成本總價，銷售總價=銷售單價×銷售量，成本總價=成本單價×銷售量.根據這些變量之間的關聯，教師設計兩個任務，學生進行探討，任務一是探究銷售單價和銷售量之間的關系，任務二是探究如何定價定量才能使得銷售利潤最大化.

二、實施任務

任務一：通過實踐調查，同時考慮到市場中該件商品的銷售單價會有一定的漲幅，與此同時銷售量也會下降，故得到如下數據（該數據已知）.

模型構建：需要學生進行分組討論，從三組數據中，學生能否得出兩個量之間的關系，在探討的同時，教師也需要一定程度地參與.

在教師的啟發下，學生可以得出函數關系，設銷售單價為x，銷售量為y，將對應形成的三個點（30，500），（40，400），（50，300）代入y=kx+b，得k=-10，b=800，因此，y=-10x+800（20≤x≤80）.

任務二：根據以上的銷售單價與銷售量之間的關系，當銷售單價為多少時，才能獲得最大的利潤，此時最大利潤是多少，產量是多少？

學生進行分組討論，自主構建模型.設利潤為z，得z=（x-20）y=（x-20）（-10x-800）=-10x2+1 000x-16 000（20≤x≤80），化簡得z=-10（x-50）2+9 000（20≤x≤80），求解得出當x=50時，zmax=9 000，y=-10×50+800=300，因20≤x≤80，x=50符合該區間，因此，當銷售定價為50元/件時，能夠獲得最大的利潤為9 000元，工廠生產此件商品的產量為300件.

三、教學反思

（一）任務分解，合二為一

對二次函數在實際生活中的應用而言，可以通過任務驅動教學法來進行對實際問題的剖析和解決.在遇到實際問題時對總任務進行相應的任務分解.任務一的設計具有挑戰性，根據三組離散的數據得出銷售單價與銷售量之間的關系，學生無從下手，但在教師的點撥啟發下，通過函數作圖得出二者的關系.任務二的實施由學生自主完成，教師只參與任務結果的評價，該任務的完成鼓舞了學生的學習興趣，完成這兩個任務之后就對其總任務進行總結歸納得出總結論.

（二）由簡入難，難易適中

在二次函數的模型的分析和建構中，鞏固二次函數的主要知識點，掌握數學建模的一般步驟，培養學生的建模能力和實踐應用能力.本著這一目標，根據初中生數學基礎薄弱、學習興趣不濃、應用能力弱的實情，教師創設了設計公司銷售產品的情境，由此引出總任務.圍繞利潤，學生展開討論，切合生活實際，列舉了許多與利潤有關的因素，課堂氣氛活躍.教師又把總任務細化成兩個小任務.任務一：根據提供的數據得出銷售單價與銷售量之間的關系.從最簡單的一次函數入手，遵循由簡入難的原則，讓學生在第一個任務中碰到的問題較少，解決方法也具有一定的開放性，采用散點圖進行圖像擬合，得出一次函數模型.任務二由學生自主完成，通過構建二次函數模型可得以解決，讓學生感受數學建模的一般步驟，同時對二次函數知識點進行一定程度的理解和加深.

（三）自主建模，教師引導

在二次函數建模過程中，教師要設計恰當的問題，喚起學生思維，參與積極和創造.通過對問題的提出，創設了一個寬松、融洽的課堂環境，學生也能夠積極參與討論，無拘無束地進行交流探索活動.教師要為學生搭建建模活動必要的認知平臺，在他們遇到困惑時，給予適當的引導和啟發，但并不包辦代替，在學生討論無果，探究遇到障礙時，適時給予探究的線索，重燃學生探究的信心.

四、結 論

由于初中學生對實際問題的解決意識較為缺乏，故而需要在日常的數學教學過程中對學生的數學應用能力進行一定程度的培養，通過對二次函數在實際生活中建模的應用，利用任務驅動教學方法將建模思想融入一個一個的任務中，這樣既能激發學生學習的興趣和積極性，更能讓學生學會自主解決數學問題.

【參考文獻】

[1]曹經富.例談二次函數的建模與應用[J].初中生，2009（21）：38-41.

[2]基于數學建模的高中函數教學設計研究[D].重慶：重慶師范大學，2017.