解題教學中觀察能力的培養(yǎng)：意義、策略與路徑

周錦春

[摘 ?要] 觀察能力的培養(yǎng)不僅關系到教學目標的實現(xiàn)，而且關系到數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，同時對教學效率的提高也具有非常重要的意義. 在解題教學中，觀察能力的培養(yǎng)需從學會觀察題目特點開始，從多角度觀察出發(fā)，從動態(tài)與靜態(tài)觀察相結合展開，從學會觀察隱含條件出發(fā)，從類比觀察中得以提升.

[關鍵詞] 解題教學;觀察能力;培養(yǎng);核心素養(yǎng)

數(shù)學中的觀察能力是一種高級思維活動，是指主動觀察事物或者現(xiàn)象，對事物的特征與差異具有一定的認識的能力. 心理學研究顯示，觀察能力是學生學習的必備條件，同時也是智力發(fā)展的有效載體. 觀察能力有先天具備和后天培養(yǎng)之分，先天條件是可遇不可求的，而后天的培養(yǎng)則是在于教師的引導和自身的體會. 因此，培養(yǎng)學生的觀察能力是解題教學中的一項長期任務. 本文擬對解題教學中觀察能力培養(yǎng)的意義、策略以及具體路徑進行探討，以期引起大家對觀察力培養(yǎng)的關注與研究.

觀察能力培養(yǎng)的意義

1. 實現(xiàn)教學目標需要

觀察能力是學習數(shù)學的基石，是看清數(shù)學思想的明眸，是實現(xiàn)教學目標的需要. 抽象數(shù)學概念的獲取，需要學生觀察其本質(zhì);一些算法的理解，需要學生觀察其算理;理解能力的提升，也需要學生觀察其中的解題策略;一些數(shù)學問題的分析，也需要學生觀察其規(guī)律，觀察能力也是數(shù)學課程的培養(yǎng)目標之一.

2. 核心素養(yǎng)發(fā)展的需要

普通高中數(shù)學課程標準提出：提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，引導學生會用數(shù)學眼光觀察世界……高中階段要實現(xiàn)以上“三會”的目標離不開觀察力，數(shù)學與現(xiàn)實生活的關聯(lián)并非一望而知的，需要學生有觀察數(shù)學與現(xiàn)實生活關聯(lián)的能力. 因此，觀察能力無疑是學生核心素養(yǎng)發(fā)展的需要.

3. 提高教學效率的需要

當下，高中教學中依然存在著教學質(zhì)量低下的弊端. 而深究低效教學背后的根源自然是多因素的摻雜，不過學生觀察能力的薄弱和觀察習慣的缺失是其中一個重要因素. 試想一個缺乏觀察能力的學生，如何才能發(fā)現(xiàn)多種解題策略中的規(guī)律？由此可見，學生的低效學習也是顯而易見的. 從而培養(yǎng)并發(fā)展學生的觀察能力對教學效率的提高也具有非常重要的意義.

在解題教學中，觀察能力培養(yǎng)的策略與路徑

1. 從學會觀察題目特點開始

形成解題路徑的首要條件是發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中的內(nèi)在關聯(lián)以及規(guī)律. 因此，我們應該提倡學生去觀察問題的結構特點，聯(lián)系蘊含其中的那些離散的數(shù)學知識與技能，并且引發(fā)對解題的深入探究，從而幫助學生形成正確、簡潔的解題路徑[1].

例1：如圖1所示，橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率e= ，該橢圓與過點A（2，0）和點B（0，1）的直線有且僅有一個公共點.

（1）試求出橢圓C的方程;

（2）設F1為橢圓C的左焦點，F(xiàn)2為橢圓C的右焦點，同時M為線段AF2的中點，證明：∠ATM=∠AF1T.

分析：觀察是為了解決問題，而不是胡亂地觀察. 本題第（1）問中，通過對圖形的深入觀察，較易明確解題思路，由直線AB和橢圓C僅有一交點，不難聯(lián)想到聯(lián)立方程組、一元二次方程以及根的判別式，得出橢圓方程C：x2+4y2=2. 當然解題思路也是在觀察的基礎上建立的. 在第（2）問中，觀察圖1我們易得出解決問題的各點坐標，若想證明∠ATM=∠AF1T，只需考慮兩角的正切值，從而形成解題路徑（具體解題過程略）.

2. 從多角度觀察出發(fā)

在解題教學中，教師需引導學生從不同的角度觀察，去找尋題目中的關聯(lián)，并有目的地變換觀察角度從而掌握題目的全貌和內(nèi)在聯(lián)系. 準確地觀察角度可以讓學生充分感知題目信息的內(nèi)在關系，讓解題策略水到渠成.

例2：已知函數(shù)f（x）= （0≤x≤2π），該函數(shù)的值域是（ ?）

A. - ，0 B. [- ，0]

C. [-1，0] D. [- ，0]

分析：若是本題從三角函數(shù)的角度著手，考慮y2= ，那么過程的煩瑣是必然的. 可以引導學生牢牢把握函數(shù)的特征，轉(zhuǎn)化觀察和思考的角度，通過構造單位圓，借助斜率知識，則可豁然開朗. 于是y= = .

①當sinx-1≠0時，原式等價于y= . 令k= ，并構造單位圓，從斜率的幾何意義得出k∈[0，+∞），所以k2∈（0，+∞）， ∈[1，+∞），所以 ∈[-1，0），即y∈[-1，0）.

②當sinx-1=0時，即sinx=1時，y=0，

綜上所述，值域是[-1，0]，故本題選C.

3. 從動態(tài)與靜態(tài)觀察相結合展開

在數(shù)學中，對于一些較為復雜的命題，學生可以將完整的命題進行分解，從而形成多個小命題，并以動、靜結合的方式著手觀察，從而打破常規(guī)進行分析，進一步得出正確判斷，并以變化的思想為指導，分解觀察后再進行組合觀察，在動、靜結合中揭示規(guī)律，在深入觀察中解決問題，促進學生思維的多向性的形成[2].

例3：已知點P為圓A：x2+（y-2）2= 上的一動點，點Q為橢圓x2+4y2=4上的一動點，請試求出PQ的最大值.

分析：本題所涉問題為兩動點之間的最大距離，因此具有較大的難度，學生不易得出頭緒. 如果直接設P與Q兩個動點，那么思路卡殼是毋庸置疑的. 那么在此處我們是否可以嘗試將問題轉(zhuǎn)化為一動點和一定點的問題進行解決呢？深入觀察并變通思路，可以思考得出：若要令PQ取到最大值，那么直線PQ則須過圓A的圓心A（0，2），此時則可以順勢將問題轉(zhuǎn)化為求AQ的最大值，這里的定點A自然就變?yōu)榱饲蠼獾闹饕?，動點P則可以暫時至于一邊，解題思路就此呈現(xiàn)：

設Q（x，y），則有AQ= . 因為x2+4y2=4，所以x2=4-4y2，所以AQ= = = = . 所以當y=- 時，AQ可以取到最大值，最大值為 ?，從而得出PQ的最大值是 + ?.

4. 從學會觀察隱含條件出發(fā)

學生在解題過程中思路受阻往往都是因為不善于挖掘隱含關系和條件導致的. 因此，在解題教學中，引導學生觀察并挖掘隱含條件是解題中不可忽視的重要環(huán)節(jié)，也是解題關鍵所在.

例4：已知△ABC中，A，B均為銳角，且有sin2A+sin2B=sinC，請試判斷△ABC的形狀.

分析：觀察題設，可轉(zhuǎn)化為sinA（sinA-cosB）=sinB（cosA-sinB）. 觀察并分析題中的隱含條件，有sinA>0，sinB>0，cosA>0，cosB>0，且有0～90°時，正弦函數(shù)遞增，余弦函數(shù)遞減. 再從條件易知A和B對稱，若設B≤A，當A>B>45°或是當B45°>B時，有左邊sinA-cosB和右邊cosA-sinB異號，所以只有sinA=cosB和cosA=sinB成立，由此可見△ABC為直角三角形.

5. 從類比觀察中得以提升

類比觀察是學生數(shù)學學習中常用的觀察方法，是從一般到特殊，從特殊到一般地進行觀察. 在解題教學中，教師為了引導學生有目的、有方向地進行觀察，并全面精準地把握事物特征，可以對一些命題或題設進行變化，讓學生在類比觀察中找尋突破口;而對于較為復雜的命題，教師可以用特殊命題的方式，讓學生在類比觀察中退而求進，揭示其中的規(guī)律和本質(zhì)，進而提升學生的觀察能力.

例5：已知等差數(shù)列中有am=n，an=m，且m≠n，求am+n和Sm+n.

分析：從題設中不難看出m和n都不是具體數(shù)字，那么這里的審題就存在一定難度了. 針對這一問題，教師可以通過設計以下簡單的等差數(shù)列進行適時點撥“6，5，4，3，2，1，0，-1…”，同時要求學生自選兩項進行觀察，如a5=2，a2=5，a2+5=a7=0，d= = =-1.

類比本題，學生頓時茅塞頓開，從題設得出d= = =-1. 又因為am=a1+（m-1）×（-1）=n，可得a1=m+n-1，所以am+n=（m+n-1）+（m+n-1）×（-1）=0，Sm+n=（m+n）·（m+n-1）+ ×（-1）= （m+n）（m+n-1）.

總之，數(shù)學教師有責任和義務幫助學生發(fā)展觀察能力，解題教學中觀察能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要教師在日常教學中一以貫之，更需要全面地行動和實施. 數(shù)學教學具有數(shù)學獨有的特征與魅力，這就要求教師需利用好數(shù)學內(nèi)容中豐富的數(shù)學思想方法，要通過科學的訓練，激發(fā)學生潛在的觀察愛好，并掌握有效的觀察方法，從而形成主動觀察和善于觀察的習慣，只有這樣才能發(fā)展他們的數(shù)學核心素養(yǎng)，才能更好地解決數(shù)學問題[3].

參考文獻：

[1] ?吳光潮. “模型+題組”，激活學生觀察能力——以“三棱錐外接球問題的模型分析和教學題組設計”為例[J]. 中學數(shù)學，2018（11）.

[2] ?何維. 淺析數(shù)學教學活動中學生觀察能力的指導[J]. 科技信息：科學教研，2008（09）.

[3] ?常宏燕. 淺談數(shù)學教學中學生觀察能力的培養(yǎng)[J]. 中華少年：研究青少年教育，2012（11）.