用裂項相消求等差乘等比數列的前n項和

高春香

[摘 ?要] 文章采用待定系數法對等差乘等比數列進行裂項，利用“裂項相消”代替“錯位相減”對等差乘等比數列求和，并證明了此方法的通用性. 用裂項相消對等差乘等比數列求和，運算量小，且運算結果簡潔工整.

[關鍵詞] 等差乘等比數列;待定系數法;裂項相消;錯位相減

“用錯位相減法求等差乘等比數列的前項和”是高中數列求和的一種基本類型.錯位相減法求和，針對數列類型單一，計算過程程序化、計算煩瑣且計算中存在較多的易錯點，對學生的計算水平要求較高. 在實際教學中通常存在知道求和方法，但運算結果永遠算不對的情況. 筆者在教學實踐中尋找到一種代替錯位相減的求和新方法，方法簡單，容易推廣且為通性通法. 現將結果呈現如下.

例1：已知數列{an}的通項公式為an=（4n-1）3n，Sn表示數列{an}的前n項和，求{Sn}的通項公式.

解：設an=[λ（n+1）+μ]3n+1-（λn+μ）3n，

則an=[2λn+（3λ+2μ）]3n.

由已知得2λ=4，3λ+2μ=-1，

解得λ=2，μ=- ，

記bn=2n- 3n，則an=bn+1-bn.

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=2n- 3n+1+ ，

綜上Sn=2n- 3n+1+ .

例2：已知數列{an}的通項公式為an=（kn+t）qn，其中k，t，q為常數且q≠1. Sn表示數列{an}的前n項和，求{Sn}的通項公式.

解：設an=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λn+μ）qn，

則a =[（λq-λ）n+（qλ+qμ-μ）]qn.

由已知得λq-λ=k，qλ+qμ-μ=t，

解得λ= ，μ= - .

記bn=（λn+μ）qn，則an=bn+1-bn，

Sn=（b2-b1）+（b3-b2）+（b4-b3）+…+（bn+1-bn）

=（b2+b3+b4+…+bn+1）-（b1+b2+b3+…+bn）

=bn+1-b1

=[λ（n+1）+μ]qn+1-（λ+μ）q

= （n+1）+ - qn+1- + - q.

本文采用待定系數法對等差乘等比數列進行裂項，利用裂項相消求和，運算量較少，運算結果整齊，且為等差乘等比數列求和的通用方法.