應用思維導圖優化高中數學課堂例題講解效果的實踐研究

范嗣波

[摘 ?要] 教師在上課的時候利用思維導圖這個工具，可以將高中數學知識進行放射性的思維發散，這樣既能抓住問題的本質，又能逐步深入地找到解決問題的方法. 筆者以人教A版《必修5》第一章“解三角形”為例，探索運用思維導圖在學生解決數學問題過程中去發現主要問題，進而可以提高學習的效率，達到優化高中數學課堂教學效果.

[關鍵詞] 思維導圖;題型講解;解決問題

提出問題

解決一個數學題涵蓋三個階段的心理活動：首先是讀題，收集題目條件加以辨別得出解題所需條件的知識點;其次是對知識點進行分析得出運用知識點的方法從而得到該題的解法;最后就是記憶保留這個解法的知識和過程的信息. 往往學生在解題時大部分都是在第二個心理過程中，知識點進行分析得出運用知識點的方法（即劃歸和轉化）這一過程中存在較大的困難，究其原因主要是學生對題目缺少宏觀把控. 因為學生在上數學課時由于抱著能夠把此題解決出來的想法而聽課，對數學知識的發生、發展、結構沒有很好的認識，這樣導致學生在遇到陌生數學問題時，不知從何入手感到無所適從. 筆者認為，當學生具備了解決該題所需要的知識和方法后，學生仍然解答不出題目，其關鍵是學生對數學知識的掌握過于生硬，不會進行劃歸和轉化. 讀題以至于沒有弄清題意，或者是理解題目后不能根據題意制訂一條完整的思路鏈條將題目條件和所求結論聯系起來. 所以筆者認為，要教會學生如何解題，必須要學生對知識進行整體上認識，明白其數學知識的發生、發展過程. 從而弄清題目所涉及的所有知識范圍及思想方法，這樣學生便很容易從整體知識結構中找到題目要包含的信息和解題思路，這也是教師在講解試題課中需要傳遞給學生的思想;同時學生在解題過程中的想法展現給教師，讓教師能夠進行有針對性的教學，進而能優化教師的講解過程，從而達到課堂的高效性.

尋找方法

針對很多高中學生在數學解題中存在下面的問題：一是對題目的條件視而不見，不知出題人所表達的是什么，需求的是什么;二是對所給的問題條件、求解的問題之間架不起橋梁，無法找到解題思路;三是聽教師分析試題時覺得一聽就會，自己做題時便一做就錯. 反思我們的數學課堂，致使學生審題、解題能力差主要有兩個方面的因素：一是教師對審題的教學不夠重視，忽略了審題的教學;二是學生缺乏良好的學習和審題習慣，缺乏良好的獨立思考能力. 使得劃歸、轉化成了學生的難點，以至于學生無法制訂出一套解題的思路和方法了. 因此，有必要突破學生在解決問題思維過程中無法分類和轉化的困難. 筆者在教學中采用“思維導圖”教學策略，將要素（條件）和目標（結論）納入探究. 其中，引導學生制訂合理的問題解決方案，然后可以實現解決問題的策略和過程，有效培養學生解決問題的能力和思維能力.

思維導圖是在20世紀70年代，由英國心理學家托尼· 巴贊（Tony Bazan）提出的，它是一種圖形思維工具，使用文字、符號、圖片、顏色等，基于人腦的模擬、體現抽象思維和視覺上代表知識，有效地呈現知識與體現思維過程之間的聯系.本篇論文中的思維導圖與所提出的概念有聯系也有所區別，是指學生在解題時尋求條件信息的整理組織與表征目標之間的工具，首先將要解決的問題寫在于一個方框或平行四邊形之中，其次再用粗細不同的線條將命題和有關的問題連接起來，連接線上面批注兩個方框中的問題之間所涉及的數學概念、定理與方法，讓解題更具有針對性和實效性，從而實現學生解題障礙的突破.

解決問題

筆者以高中“解三角形”復習課為例. 在使用思維導圖作為解決問題教學的指導時，它依賴于教學過程中的問題驅動，逐步引導學生復習和梳理凌亂的知識點，逐步建構本節課知識網絡圖（即思維導圖）;其次，使用思維導圖作為出發點，以加強學生解決問題的意識. 學生在嘗試建構思維導圖的過程中，學會抓取問題信息即尋找條件與目標之間的關系，學會制訂出解決問題合理方案，慢慢養成獨立繪制思維導圖的習慣，并在解題中不斷優化解題方案，讓學生體驗到學習數學是快樂的和領悟思維導圖的無限魅力.

1. 問題驅動，梳理知識

“數學的心臟是問題”，教師應把問題和解決問題作為學生學習動機的源泉，激發學生對數學學習的強烈愿望，使他能夠參與解決問題的教學活動. 在設計問題時，教師應該控制問題的難度和梯度. 最好在學生“最近發生、發展區”中設置問題. 應遵循以下準則：第一個標準是起點相對較低. 問題起于背景材料、知識原點、自然現象等.第二個標準是邏輯鏈（思維導圖）. 設定的問題應該構成一個合乎邏輯的線索. 根據設置問題的方法或知識水平，即方法線和知識線，問題之間必須存在邏輯聯系. 第三個標準是梯度小.筆者認為它就像盤山道路，起點很低，坡度和彎度也小，但最后通往的目的地很高. 第四個標準是具有啟發性. 問題得到解決后，一定需要師生共同總結并歸納出一般性規律與方法，可以給出感悟，進而達到解一題會一類的目的.

【教學環節1】

問題1：如圖1，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，a=120，b=180，∠ACB=60°，求邊長c.

生1：由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，所以c2=1202+1802-2×120×180× .

教師：那么該如何計算，才能簡便呢？（巡視課堂，發現兩個方面問題：一是學生的計算能力是不夠的，不能直接進行復雜的計算，但少數學生使用四則運算的性質來處理;二是有部分學生運用的是余弦定理的角的形式cosC= 去計算，導致化解錯誤）

生2：由余弦定理得：c2=1802+1202-2×180×120× ，得c=60 .

教師：很好！在解題過程中，你是運用什么辦法算的結果？

生2：要避免煩瑣的運算，我采用了乘法的運算性質，提取了公因數.

追問：本題能否求出∠A和∠B的大??？

生3：用正弦定理可以求出.

師：能否用余弦定理？（可以）

歸納總結：余弦定理應用的兩種情形：（1）知道兩條邊的長度及兩條邊夾角的大小，就可求其他邊的長度和其他角的大小;（2）知道三邊的大小，可求出三個角的大小.

問題2：如圖2，在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，且c=10，∠ACB=30°，∠CBA=105°，求邊長a.

生4：在△ABC中，因為∠A+∠B+∠C=π，所以∠A= ，由正弦定理 = ，得a=10 .

教師：非常好！

追問：能否求b邊的長度呢？

生5：由正弦定理可以求得.

歸納總結：正弦定理應用的兩種情形：（1）知道兩邊的長度及其一邊的對角大小，求其他的邊與角;（2）知道兩角的大小及任意一邊長度，求另一角大小和其他邊長度.

通過設計兩道基礎問題的引導，讓學生鞏固正弦定理和余弦定理方法的應用. 通過不斷地追問，學生將繼續梳理和總結知識;并逐步掌握兩大定理的知識方法，清楚正弦定理、余弦定理適用的幾種情況，這樣可以引導學生去建構“解三角形”知識網絡圖. 若學生不會時，必然能帶著質疑去回顧數學知識的發生、發展，從而迫使學生主觀地去建構這章主要知識的內容和方法. 這樣一幅思維導圖必然就出現在學生的腦海里. （如圖3）

2. 以思維導圖為抓手，突破解題障礙

數學是思維嚴密的學科，學生在學習數學時要經歷嚴密的思維活動，為了創造一個合適的知識和方法體系，并學習它的經驗和能力. 在教學過程中，教師通過思維導圖引導教學，使學生能夠清楚地解決問題和探究的方向，教師處于活動狀態. 它只是作為指導和幫助，指導學生使用思維導向的圖形問題，以便學生能夠真正實現他們的思想目標，掌握方法，解決大腦中的問題. ?.

【教學環節2】

在△ABC中，sinA= ，判斷這個三角形的形狀.

教師：本題要解決什么問題，即目標是什么？

生6：找邊的關系.

師：如何求？要用哪些知識來解決？

生7：在△ABC中，運用正弦定理、余弦定理來尋求邊的關系.

師：很好！能不能把你的想法畫出一幅流程圖來？如圖4.

師：充分運用正弦定理、余弦定理成功地實現角與邊之間的相互轉化，就將題完美解答出來了！

學生如何使用思維導圖來解決問題？筆者認為，學生需要體驗“識圖——繪圖——用圖”的三個階段. 通過對該主題的研究，學生可以理解思維導圖的繪制并了解思維導圖的作用. 通過這種方式，學生依靠思維導圖解決問題，可以突破解決問題的障礙，使學生在掌握知識點和方法后，可以與目標建立良好的橋梁. 但獨立自主的制作一幅完整且合理思維導圖難度也比較大. 除了讓學生掌握基本的生產方法外，更重要的是引導學生探索出目標與條件之間的內在聯系，題目中涉及的概念、定理以及知識與思維方法之間的邏輯關系.

結束語

總之，教師在教學時加以思維導圖，首先可以作為突破學生解題難的一種教學策略，有效地更新學生的認知方式，啟發學生學習和課堂參與的興趣，提高教學效果;其次作為學生“學”的策略，能促進學生在未知與已知之間搭建起一條邏輯線，能夠突破學生的解題障礙，它還可以充分發揮學生的主動性、團隊意識和自我創造能力;最后，在數學教學中使用思維導圖，學生可以在教師的指導下通過“識圖——繪圖——用圖”獨立學習，能運用掌握的知識分析問題、解決問題，從而達到提高數學能力和學習解決問題的目的.