核心探討：解析幾何與向量綜合問題

蓋峰峰

[摘 ?要] 向量與解析幾何均是高中數(shù)學的重點知識，兩者相互獨立又有著極大的關聯(lián)，高考常從兩者綜合角度來命制考題，同時利用向量方法也可以對考題進行突破.文章結合實例深入探討向量在解析幾何問題中的突破應用，并探究綜合題的求解思路，提出相應的建議.

[關鍵詞] 解析幾何;向量;簡化;位置關系

解析幾何是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，其中的曲線方程、位置關系、復合圖形等知識點對于提升學生的思維有著極大的作用. 而向量作為具有雙重身份的特殊內(nèi)容，可以有效將“數(shù)”與“形”融合起來，也可作為數(shù)學工具來解析問題.向量與解析幾何之間具有極大的關聯(lián)，高考命題時常見兩者結合起來，既能考查學生對兩大知識模塊的理解，又能考查學生對知識關聯(lián)的掌握情況. 學習解析幾何與向量綜合內(nèi)容時需要從兩個方面進行：一是掌握向量作為解題工具在解析幾何中的應用;二是掌握向量與解析幾何綜合題的突破方法.

向量應用探討

向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，既可以表示大小，又可表示方向，在解析幾何中的應用主要體現(xiàn)在兩個方面：一是利用向量的大小性來簡化運算過程;二是利用向量的方向性來轉(zhuǎn)化位置關系. 其中前者在應用時需要熟識向量表示線段大小的方法以及相關的運算法則，后者則需要掌握向量對幾何垂直、共線和平行的體現(xiàn)方法.

1. 利用向量的大小性來簡化運算過程

向量可以表示線段大小，利用向量的坐標運算可以簡捷地求解解析幾何問題，例如求解距離、線段長、面積等，同時利用向量也可以有效轉(zhuǎn)化問題，降低思維難度，簡化計算過程.

例1：已知點P是直角坐標系中的一個動點，設其坐標為（x0，y0），直線l的解析式為Ax+By+C=0（A2+B2≠0），試求證點P到直線l的距離為 .

分析與證明：本題目屬于解析幾何中的距離求證題，求證點到直線的距離公式可以利用向量的投影，設直線上一點為Q（x1，y1），連接PQ，如圖1所示，點P到直線l的距離d就為 在直線l的法向量上投影的絕對值，后續(xù)只需要求其投影即可.

設直線l的法向量n=（A，B），則d= = . 由于點Q（x1，y1）位于直線l上，必然滿足其解析式，即Ax1+By1+C=0，代入簡化可得d= ，即點P到直線l的距離為 ，證畢.

評析：點到直線的距離公式在解析幾何中有著廣泛的應用，上述實際上是關于該公式的向量法證明，利用該方法可以避免直線斜率是否存在的討論，充分體現(xiàn)出向量處理線段問題的優(yōu)勢. 但利用向量投影過程中需要充分理解概念，把握知識之間的關聯(lián).

2. 利用向量的方向性轉(zhuǎn)化位置關系

向量具有方向性，不僅表現(xiàn)在單向量上，同時在向量運算中有著充分的體現(xiàn)，充分分析向量運算可以提煉出幾何位置關系，包括幾何垂直、共線、平行等，因此在求解解析幾何問題時可以充分利用向量對幾何關系的體現(xiàn)來轉(zhuǎn)化問題，實現(xiàn)問題的代數(shù)解答.

例2：已知⊙O：x2+y2=16外有一定點M（2，-6），作一直線AB，使其與⊙O相交，設弦AB的中點為C，試求點C的軌跡方程，并說明軌跡曲線的類型.

分析與解：分析可知AB是⊙O的弦，由于點C為AB的中點，若連接OC，則可得OC⊥AB，從而可提煉出其中的垂直關系，求解點C的軌跡方程則可以引入向量，利用向量運算與線段垂直之間的聯(lián)系來加以突破.

設點C的坐標為（x，y），可得 =（x，y）， =（x-2，y+6）. 由OC⊥AB可進一步知OC⊥MC，則 · =0. 由向量坐標運算可得（x-1）2+（y+3）2=10，即點C的軌跡為以（1，-3）為圓心， 為半徑的一段圓弧.

評析：上述是關于向量積為零對幾何垂直的應用體現(xiàn)，幾何垂直的表示方式有很多，可以借助兩線斜率之積為-1——k2·k2=-1，也可以直線所在向量之積為零——m·n=0，但后者可以避開對直線斜率的討論. 另外在學習時需要掌握幾何共線、平行的向量表示方法，提升求解問題的靈活性.

綜合問題探究

向量與解析幾何之間有著極高的關聯(lián)性，這也是高考的重要考查點，高考中常以點坐標為媒介，串聯(lián)向量與曲線來命制綜合問題. 該類綜合題破解前提均為：深刻理解向量與解析幾何之間的知識關聯(lián)，突破時可以采用兩種思路：一是利用向量的坐標運算來轉(zhuǎn)化問題或條件;二是利用向量來構建幾何關系，通過向量運算來探究結論.

例3：已知橢圓C： +y2=1，點F1和F2是橢圓的左、右焦點，試回答下列問題.

（1）若點P是橢圓C上的一個動點，試求 · 的最值;

（2）直線l經(jīng)過定點M（0，2），與橢圓C相交于A，B兩點，若點O為坐標的原點，∠AOB為銳角，直線l的斜率為k，試求k的取值范圍.

分析：本題目為解析幾何綜合題，其中涉及直線、橢圓、平面向量數(shù)量積等基礎知識，考查學生的知識綜合和推理計算能力，破解時需要從點坐標入手，把握幾何、函數(shù)與向量之間的關聯(lián)，逐步轉(zhuǎn)化問題條件.

解：（1）根據(jù)橢圓方程易知a=2，b=1，c= ，則焦點坐標為：F1（- ，0）和F2（ ，0）.設點P的坐標為（x，y），則 · =（- -x，-y）·（ -x，-y）=x2+y2-3= （3x2-8），其中x的取值范圍為[-2，2]. 顯然當x=0時，點P位于橢圓短軸端點處時 · 取得最小值-2;當x=±2時，點P位于橢圓長軸端點處時 · 取得最大值1.

（2）當直線x=0時不滿足題設條件，可將直線l的方程設為y=kx+2，與橢圓的交點坐標設為A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，整理可得k2+ x2+4kx+3=0.由韋達定理可得x1+x2=- ，x1·x2= ，由Δ=4k2-3>0可得k<- 或者k> ①.

∠AOB為銳角，則0<∠AOB<90°，可推得cos∠AOB>0，所以 · >0，即 · =x1·x2+y1·y2>0，其中y1·y2=k2x1·x2+2k（x1+x2）+4= ，代入可得 + >0，可解得k2<4，即-2

綜合①和②，可得-2

上述解析幾何考題有兩問，求解突破時均是基于解析幾何與向量之間的關聯(lián)，但采用了不同的策略，第（1）問利用坐標運算來轉(zhuǎn)化向量積，從而構建了與坐標參數(shù)相關的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來求最值;而第（2）問則是逆向使用向量，基于銳角條件來構建向量關系，然后利用向量運算來分析斜率取值. 向量與解析幾何有著眾多交匯點，解題時需要靈活使用向量與解析幾何的關聯(lián)知識來轉(zhuǎn)化求解.

關于問題的思考

解析幾何與向量作為高中數(shù)學的重難點內(nèi)容，從知識綜合角度進行整合突破有著現(xiàn)實的意義，而在實際學習中需要重點關注向量式的幾何意義，掌握利用向量來分析問題的方法策略，下面提出幾點建議.

1. 把握試題導向，深度整合問題

涉及向量的解析幾何問題十分眾多，開展考題探究需要從多變的試題中提取不變規(guī)律. 而高考真題是眾多優(yōu)秀教師深思熟慮、細致斟酌命制的，在教學中需要教師充分研究這些經(jīng)典考題，利用考題來把握命題風向. 以向量與解析幾何問題為例，需要整合問題中向量的轉(zhuǎn)化策略，探究向量與函數(shù)、方程、曲線的關聯(lián)，明晰利用向量的幾何意義求解解析幾何相關問題的思路，提升學生解題的靈活性.

2. 注重教學基礎，強化基本技能

與向量相關的解析幾何問題具有極高的綜合性，但綜合問題突破的基礎依然是教材中的基礎知識和基本技能.求解該類問題需要學生熟練掌握向量運算法則、幾何意義、幾何性質(zhì)和曲線方程等內(nèi)容，同時積累一些分析技巧和簡化方法，提升問題突破效率.在日常的教學中，教師應立足基礎知識，使學生辨析概念、定義，特別關注向量的基本定理、向量的線性表示法、坐標法等，在此基礎上進行定理公式整合，形成系統(tǒng)的知識體系.

3. 強化數(shù)形結合，提升數(shù)學思想

向量具有代數(shù)與幾何的雙重特性，而解析數(shù)形內(nèi)容最為有效的方法是數(shù)形結合，合理使用數(shù)形結合不僅可以轉(zhuǎn)化解析幾何中的向量問題，還可以借用向量來轉(zhuǎn)化解析幾何. 數(shù)形結合求解解析幾何問題時需要把握兩個關鍵點：一是把握圖形的直觀性，從形的角度揭示問題中的幾何本質(zhì);二是把握函數(shù)的準確性，從數(shù)的角度來嚴謹推理問題結論.以涉及向量的解析幾何問題為例，可以利用向量運算來轉(zhuǎn)化其中的幾何關系，也可以利用向量的幾何意義來轉(zhuǎn)化問題中的幾何條件. 實際上數(shù)形結合是一種重要的思想方法，該思想方法對于提升學生的思維品質(zhì)有著極大的幫助，教學中需要教師重點關注，深入引導.