透視橢圓，策略探討，教學思考

黃水連

[摘 ?要] 橢圓是一種較為特殊的圖形，以其為基礎命制的解析幾何問題具有較強的綜合性，在解法上也極為靈活，基于問題特點可以從不同的角度加以轉化突破，例如利用定義、函數、對稱性、幾何關聯來解析問題. 文章以上述四種解題策略為依托，開展橢圓問題的解法探究，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 橢圓;策略;函數;定義;函數;幾何

解析幾何中的橢圓問題是高中數學的重難點問題，由于具有綜合性強、靈活度高、計算過程復雜等特點，很容易使學生解析受阻. 實際上對于橢圓問題可以采用相應的解析策略來降低思維難度，簡化過程，下面舉例探析.

橢圓問題的策略探討

策略1：回歸定義

橢圓的定義可以揭示橢圓的本質屬性，在學習橢圓時需要從其定義入手，掌握橢圓的基本特性，只有這樣才能深刻理解橢圓的內容本質. 在解析問題時可以考慮使用橢圓的基本定義，利用其定義來轉化問題，構建思路.

例1：線段AB的長度為dd≥ ，其兩個端點A和B分別在橢圓 + =1（a>b>0）上移動，設點M為線段AB的中點，試求點M到橢圓右準線l的最短距離.

解析：設點F為橢圓的右焦點，分別過點A，M，B作右準線l的垂線，垂足分別為點A′，M′，B′，如圖1所示，則就是求MM′的最小值. 可利用橢圓的定義對其進行轉化，即MM′= = ?+ = （AF+BF）≥ = ，當且僅當AB經過橢圓的焦點F時等號成立，此時點M到橢圓右準線l的最短距離為 .

總結：利用定義法來轉化問題可以避免煩瑣的運算過程，而在定義學習時需要立足幾何特征，深刻理解定義的內涵，掌握定義轉化問題的思路.

策略2：巧借函數

解析幾何具有函數的特性，對于有些橢圓問題可以借用函數知識，利用函數的性質來分析，尤其是函數的單調性和最值. 例如分析取值問題時可以構建關于未知量的函數關系，利用函數單調性來確定取值.

例2：橢圓 + =1的左、右端點分別為A和B，橢圓的右焦點為點F，點P位于橢圓上，且在x軸的上方，PA⊥PF，試回答下列問題.

（1）試求點P的坐標;

（2）設點M是橢圓長軸AB上的一個動點，動點M到直線AP的距離為MB，試求橢圓上的點到點M距離的最小值.

解析：（1）略. （2）該問求兩點之間距離的最小值，可以構建兩點之間距離的函數，利用函數的性質來加以分析.AP的方程為x- y+6=0，設點M（m，0），則點M到AP的距離為 ， =m-6. 又知-6≤m≤6，可解得m=2. 設橢圓上動點的坐標為（x，y），該點到M的距離為d，則d2= x- ?+15，結合-6≤x≤6可知當x= 時，d可以取得最小值，且最小值為 ，即橢圓上的點到點M距離的最小值為 .

總結：上述是涉及動點的橢圓最值問題，最為簡潔的方式就是設定點的坐標參數，構建關于參數的函數方程，利用函數性質來求解，該思路也是求解橢圓線段最值問題最為有效的方法策略，解析時需要關注參數的取值范圍.

策略3：妙用對稱

橢圓具有一定的對稱美，是典型的對稱圖形，包括軸對稱和中心對稱. 在解析問題時可以從幾何角度觀察，利用橢圓的對稱性來發掘結論，簡化過程，提高解析效率.

例3：已知橢圓 +y2=1的左、右焦點分別為F1和F2，點A和B均位于橢圓上，如果 =5 ，試求點A的坐標.

解析：本題目求橢圓上點A的坐標，其核心條件是向量關系，可以延長直線AF1，與橢圓的交點為點B1，如圖2所示.橢圓屬于中心對稱圖形，由其對稱性可知 = ，進而有 =5 ，則可將問題轉化為直線與橢圓的相交問題.根據橢圓的焦半徑公式可得F1A= ·x1+ ，F B = x2+ ，根據向量關系可得 x1+ =5· x2+ ，又知x1+5x2= -6 ，從而可解得x1=0，所以點A的坐標為（0，±1）.

總結：上述利用橢圓的對稱性進行了線段關系轉化，實際上還可以用于運算過程的簡化. 而在學習時要對橢圓對稱性產生深刻的理解，其對稱性不僅體現在外表上，同樣體現在性質特征上，甚至對應方程中.

策略4：幾何關聯

解析幾何中的橢圓問題同樣可以視為幾何問題，也可以依托橢圓來構建相應的幾何圖形，因此在求解某些問題時可以利用幾何性質、結論來突破求解.

例4：如圖3所示，橢圓C的方程為 + =1，點M是橢圓上的一點，橢圓的兩個焦點分別為F1和F2，以M，F1和F2構建△MF1F2，設三角形的內心為點I，連接MI，并將其延長，與F1F2的交于點N，試求 的值.

解析：本題目在橢圓中構建了相應的三角形，并給出了三角形的內心，求相關線段的長，需要利用相應的幾何知識.設△MF1F2底邊F1F2上的高為h，點I到x軸的距離就為△MF1F2內切圓的半徑，可以設為r，由等面積法可知S△MF1F2=S△IF1F2+S△MF1I+S△MF2I，即 ·F F ·h= （F1F2+MF1+MF2）r，進而可得h= ·r，所以 = = = ，即 的值為 .

總結：上述在求解線段比值時利用了幾何上的等面積法，利用面積關系得出了代數關系，實現了問題的求解. 對于涉及幾何圖形的問題，需要利用幾何與函數之間的關聯，利用幾何與函數知識來對其簡單轉化.

橢圓問題的解析思考

解析幾何中的橢圓問題是高中數學的重難點問題之一，上述是對其問題常用的解析方法和構建思路的剖析，同樣適用于同類型解析幾何問題，解題時需要靈活選用，巧妙轉化，下面提出幾點教學建議.

1. 立足基本定義，牢實基礎知識

方法是輔助解題的工具，而定義和性質才是問題突破的核心，因此在橢圓問題的學習中需要立足基本定義，從橢圓的基礎知識出發，逐步完善知識結構，形成系統的解題思路，這也是課堂教學的正確流程. 教學時需要教師引導學生深入理解定義、性質的內涵，使學生掌握利用定義思考問題的方法，逐步內化吸收，形成自我的知識儲備.

2. 關注知識關聯，拓展解題思維

橢圓問題的突破方法和轉化策略是多樣的，但實際上是對關聯知識的有效利用，例如利用橢圓與函數的關聯分析最值，利用橢圓與向量的聯系轉化問題等. 因此解析方法的學習需要從知識關聯入手，把握知識的關聯點，教學時可引導學生思考橢圓問題與前后知識的聯系，以解析幾何的內容特性為基礎展開知識拓展，構建相應的知識體系. 而在考題教學中可以開展問題變式，一題多解，引導學生進行多角度思考問題，探索解題方法，提升學生思維的多樣性.

3. 重視問題總結，發展數學思想

開展考題教學的關鍵是對問題進行總結思考，即完成問題探究后還需要對問題的結構特征、突破思路及方法進行系統的總結，反思優化點和拓展點，上述就是基于橢圓問題進行的策略探究. 從問題的突破過程來看，除了需要靈活利用關聯知識和方法外，還需要結合相應的數學思想，例如方程思想、模型思想、化歸轉化、數形結合思想等，這些思想是解題思路構建的基礎，也是解題的靈魂所在. 教學中需要結合具體的內容來剖析解題思想，逐步發展學生的數學思想，提升學生的整體能力.