高中數學知識的學科認知功能與核心素養培育

張小益

[摘 ?要] 利用數學知識的認知功能去實現數學學科核心素養的培育，應當成為高中數學教師面對核心素養培育需要時的重要選項. 數學知識應當是指生活中的客觀事物以及基于邏輯衍生的事物之間的關系，然后以數與形的形式在人腦中的映像. 高中階段的學生具有較強的主動意識與建構能力，而數學知識所具有的學科認知功能，就可以在學生主動建構的過程中，發揮培育學生核心素養的作用.

[關鍵詞] 高中數學;數學知識;學科認知功能;核心素養

知識與認知之間的關系是顯而易見的，知識是認知的結果，認知過程與知識建構過程并存. 但有一點容易為教師所忽視的是，數學知識自身也具有促進學生認知發展的功能，而認知發展的過程與核心素養培育的過程實際上又并存于同一個過程，因此利用數學知識的認知功能去實現數學學科核心素養的培育，應當成為高中數學教師面對核心素養培育需要時的重要選項. 本文在探究數學知識認知功能及其與數學學科核心素養關系的基礎上，初步探索基于數學知識學科認知功能的核心素養培育思路，希望得到專家同行的批評指正.

認清數學知識學科認知功能與核心素養的關系

核心素養的提出，源于2014年3月30日發布的《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，該文件中提出研究制訂學生發展核心素養體系，明確學生應具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力. 對于數學學科而言，首先要思考的問題是必備品格與關鍵能力從何而來. 顯然，這兩個要素都不是憑空產生的，而應當存在于具體的教學過程中，教學過程中教什么？首先教的是數學知識. 當然需要知道的是，數學知識不是以符號形式呈現的數學知識，而應當從知識本義角度去認識.

什么是知識？知識是客觀事物的屬性與聯系的反映，是客觀事物在人腦中的主觀映像. 相應的，數學知識應當是指生活中的客觀事物以及基于邏輯衍生的事物之間的關系，然后以數與形的形式在人腦中的映像. 這個映像具有顯著的主觀特征，從建構主義學習觀的角度來看，其是學生主動建構的結果. 高中階段的學生具有較強的主動意識與建構能力，而數學知識所具有的學科認知功能，就可以在學生主動建構的過程中，發揮培育學生核心素養的作用.

例如，在“三角恒等變換”這一知識的教學中，通過向學生介紹自然界中“按一定規律周而復始”的現象，并讓學生認識到按一定規律不斷重復的現象稱為周期現象，這就是一個知識學習的過程. 在這個知識學習的過程中，學生的思維會加工兩個內容：一是生活中的周期現象，二是從數學角度對周期現象進行描述的語言. 前者來自生活，而后者來自數學. 數學語言是用來描述生活現象的，這樣一個描述的過程，就是體現數學學科知識認知功能的過程. 同樣的一個生活中的周期現象，用數學語言來進行描述與用其他語言來描述顯然是不一樣的，數學語言追求的是簡潔與精煉，強調用最簡單的語言，或者公式，或者圖形——最終則是數學模型，來對周而復始的現象進行刻畫. 譬如蘇科版教材上有這樣一個轉換關系，如圖1：

這種轉換關系里面其實蘊含著豐富的數學知識認知功能：從形象到抽象，從復雜到簡潔，從生活中的“圖形”到數學中的“形”……都對應著數學學科所特有的抽象、推理、建模等過程，而這些恰恰是數學學科核心素養的組成要素. 從這個角度來看，高中數學知識的認知功能確實可以保證數學學科核心素養的落地.

基于數學知識學科認知功能培育數學核心素養

既然已經厘清了數學知識的學科認知功能與數學學科核心素養之間的關系，那下一步的主要任務就是基于數學知識的學科認知功能，去培育學生的數學學科核心素養. 基于對高中數學教學的優秀傳統進行分析，應當認識到這樣的一些努力是有價值的. 如：教師應拓展本體性知識，朝著高等數學思維轉變;提高觀察探究能力，在自身學習過程中學會“做數學”;學一點數學史知識. 但是要注意的是：面對核心素養培育的需要，必須開辟新的途徑來充分發揮數學知識的認知功能. 筆者基于教學實踐得出的結論是：在學生建構數學知識或者解決了數學問題之后，讓學生回顧自己的學習過程，重點梳理知識的形成過程或者問題解決思路的形成過程，可以讓學生在已有的基礎之上面向學習品質的提升需要，進而有新的發現. 這個發現可以為核心素養的落地提供幫助.

舉個上面提到的“三角恒等變換”的例子，當學生發現可以用圖1中的右圖，來描述生活中周而復始的事物時，不妨引導學生回顧：這樣的一個抽象過程，只是將復雜的圖變成簡潔的圖嗎？學生通過回顧與梳理會發現，顯然并非如此. 圖中看起來的兩個簡單的點與線——圓周上的動點P與對應的半徑r，才是描述生活中周而復始現象的兩個關鍵的數學量. 這個時候筆者引導學生進一步思考：動點P與對應的半徑r的出現，對你有什么啟發呢？學生通過總結以后發現：正是這兩個量的出現，使得在描述周期性現象的時候，變得更加簡潔與有效.

這樣的認識的價值在于，其可以為后面數學概念的建構奠定基礎. 而筆者的判斷與事實情況也是吻合的，在其后“任意角和弧度”知識的學習過程中，學生對任意角的認識，就可以基于旋轉的知識，建構出正角和負角以及零角的概念. 實際教學過程中，這樣的一個建構過程可以讓學生去自主探究：旋轉的知識在初中數學學習過程中就已經習得，描述周期性現象過程中所形成的動點認識，可以讓學生大腦中的角由靜態變成動態. 于是在描述角的時候，也就有了知識基礎與認知基礎.

從核心素養的角度來看：此前知識學習過程中形成的能力，在新的數學概念建構過程中得到了遷移，這就是關鍵能力得以培養的過程.

以數學知識的學科認知功能驅動育人目標實現

有人說，核心素養回答了“培養什么樣的人”的問題，而育人則回答了“如何培養人”的問題. 在筆者看來，所謂的育人，肯定是與學科知識教學并肩前行的，沒有知識的教學就無法達到育人的目的，因此可以認為，包括數學學科知識在內的學科育人功能與核心素養其實是高度契合的.

當很多同行認為核心素養是一個高端概念，在實際的課堂教學中無法實現的時候，從數學知識的認知功能角度切入，真正將核心素養培育的落腳點，選擇在數學知識本身，就可以透過核心素養的光環，從而尋找到培育其的有效途徑. 高中數學知識雖然看起來繁、難，但其中所蘊含的邏輯關系、簡潔意蘊，正好能夠給這個年齡階段的學生，提供廣闊的思維空間. 一旦學生能夠在這個空間里讓思維縱橫馳騁，那他們的能力自然能夠得到培養，核心素養也就能夠得到培育. 所以從這個角度講，數學學科的認知功能就是核心素養培育的基礎，從而驅動著立德樹人目標的實現.