運用逆向思維，巧解數學問題

周映花

摘? 要：小學階段是培養逆向思維的重要時期，要結合學情實際，完善教法體系，讓學生從逆向思維應用中，提高解題熱情，增強解題能力。文章對小學數學學習中，運用逆向思維，巧解數學問題進行了探析。

關鍵詞：小學數學;逆向思維;價值

在數學核心素養中，思維的激活與創新是發展重點，運用逆向思維來求解數學問題，往往能夠為巧解難題找到新的突破口。逆向思維是思維發散的一種方式，并不適合所有數學問題。但對于逆向思維的關注，重在開拓學生的解題視野，為學生巧解題、會解題奠定基礎。關注逆向思維，就是要以“反其道而行之”的思維方式，面對數學題目，變換解題方向，尋找新的突破口。

■一、重視逆向思維滲透，發揮教育價值

在數學核心素養中，思維力的培養至關重要。逆向思維是一種思維方式，也是數學素養的重要內容。在小學數學解題教學中，“多做題”仿佛成為不變的定律。長此以往，學生的思維就可能被固化，而逆向思維作為發散思維之一，其作用表現在：一是將復雜問題簡單化，如某題：29+299+2999+29999+299999，如果采用傳統的求和計算，不僅費時費力，還易出錯。如果采用逆向思維，可以將上面的五個數分別加“1”，再整體減“5”，那么解題效率將大大提升。可見，從逆向思維來分析和求解數學題，可以讓一些復雜的難題變得簡單。二是增進學生對數學知識的深刻理解。數學知識點具有邏輯性、關聯性、抽象性，學生在求解數學問題時，可能會因理解不準確而找不到解題思路。如7的5倍是多少？我們通過正向思維，可以很快算出“35”;但我們問學生：一個數的5倍是“35”，這個數是多少？一些學生就會迷惑不解，搞不清楚如何求解。

事實上，在數學知識結構中，很多數學公式具有雙向性。如1千克=1000克，同樣10000克=10千克。只有讓學生理解并懂得逆向思維的重要性，而不是按部就班地習慣于搬用固定公式來解題，才能增強學生的解題思維靈活性，夯實學生的數學素養。

■二、挖掘題目中的關鍵點，抓住逆向思維應用時機

在數學解題中，對逆向思維的運用，并非適合所有題。什么時候適宜逆向思維，需要我們把握數學題目的關鍵點。如數學教材中的順逆公式、順逆關系式等，這些問題可以利用逆向思維，換個角度來分析題意，找準解題突破口。

以某題為例：有一包糖，共80塊。由2人分，每人多少塊？由4人分，每人多少塊？由8人分，每人多少塊？對于該題所用到的數學乘除法知識，我們可以進行剖析。什么是乘法？對于相同的幾個數相加，就等于該數乘以相加的次數。反過來，對于除法，一個數除以加數，可以得到次數。因此，從某種視角來看，乘法與除法具有互逆性。分析上題可知，由2人去分，就等于將“80”作為整體，分給2人，用“80÷2”來解;由4人來分，就等于“80÷4”;同樣道理，對于8人來分，就等于“80÷8”。在求解中，數量關系的提煉是解題的關鍵點。通常在題目分析時，可以用順推方式來找到數量關系，也可以用逆推方式去推導數量關系。

又如，顧客給售貨員100元，買了3個足球，售貨員找顧客4元，問足球多少錢？分析該題時，需要我們從題設中找準數量關系。顧客付了100元，找回4元，實際付了多少錢？這些錢，共買了3個足球，由此可以算出每個足球值多少錢。在分析題意時，可以逆向尋找求解思路。想要算出每個足球的價格，就得知道兩個關鍵點，一是花了多少錢，二是買了幾個球。顯然，題目中有“3”個球，但并未給出具體的錢數。這個錢數又與付出“100”元，找回“4”元有關，可以先計算出花了多少錢，即“100-4=96”，然后，利用“一個數乘以3得到96”這一逆向思維，就可以找到計算方法，“96÷3=32”。

可見，對于逆向思維的應用，要能夠從題意中找到逆向轉換的條件。教師要引導學生全面梳理題意，從求解目標反向推導解題條件，與哪些數量關系有關，需要把握哪些數量值，再從中根據數學邏輯，列出求解方法。

■三、關注題設條件，促進發散思維養成

逆向思維的培養，需要強化學生發散思維意識。對于數學題目，教師要關注學生多維化分析題設條件，拓展數學求解思路。很多數學公式往往是需要學生記憶的，但這些公式，很多學生并未真正理解，導致求解時用錯。對于這些公式，可以從逆向思維分析入手，探析題設條件，將解題目標與題設建立有效關聯，幫助學生靈活運用公式解題。

如小明有一些小五星，這學期又得到24個。小明將小五星送給小華30個，還剩52個。問小明原有多少個小五星？對該題的求解，如果采用正向思維，學生沒有學過未知數，也不懂方程，顯然在求解思路上難以為繼。如果采用逆向推理，小明現有52個小五星，加上之前送給小華的30個，應該是52+30=82（個）;但這個數量里，還有這學期新得的24個，所以應該減去24，即82-24=58（個）。所以說，通過逆向思維來突破解題疑惑，可以讓學生從倒推中，深刻理解題意，把握數量關系。同樣，逆向思維在求解數學問題時，教師要善于發散學生的數學思維，不能照搬、照抄公式，而是要主動去理解題意，引導學生抓住思維發散點。

又如對于連續多個分數的求和計算，■+■+■+■+■，若直接按照兩兩通分來計算，則解題煩瑣、解題量大，還易解錯。因此，對于該題，能否獨辟蹊徑，找到新的求解方法？對于該題，我們可以利用■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■，■-■=■對原式進行變換，得到■-■+■-■+■-■+■-■+■-■，最終簡化為■-■=■。如此變換，既讓計算量大大降低，也提高了解題速度。所以說，應用逆向思維解題時，要讓學生發散思維，并給予針對性訓練。

■四、突破解題常規，巧解數學難題

對逆向思維在數學題中的應用，要突破常規思維，敢于從逆向推導中解決難題。通常，在面對解題方法煩瑣的應用題時，可以換個角度，從逆向思維中來嘗試解題。對于應用題，利用常規的解法，主要由已知條件，尋求未知目標。但一些題目情境較為復雜，正向求解困難大。

如，有一個猴子和一框桃子，如果猴子每天吃框里的一半還多一個桃子，等第十天時，框里僅剩1個桃子。問猴子吃了幾個桃子？對于該題，在尋找解題方法時，通常會根據題意，假設共有x個桃子，然后列出一元一次方程，來推導出一個很復雜的解題式子。對于小學生，這種解法顯然是煩瑣的。此時我們可引入逆向思維，從反向來推導。先從第十天向前推，依次推導第一天，這樣一來，問題就會變得很簡單。也就是說，第十天時，有1個桃子，則第九天時，應該4個;以此類推。然后將這些桃子數量加一起，即可求解。在平時，一些難以求解的應用題，往往可以嘗試逆向思維來獲得解題捷徑。如某題：羊圈有羊100只，山羊是綿羊的3倍，山羊、綿羊各多少只？分析題設條件，共有100只羊，山羊是綿羊的3倍。學生想依靠一個倍數關系求解，但他們沒有學過二元一次方程，會感到棘手，無從突破。這時，我們可以從逆向求索。既然山羊是綿羊的3倍，那綿羊的3倍與山羊數量相等。如果這些羊全是綿羊，則綿羊的4倍就應該等于總羊數。由此，就可以求出綿羊的數量，再按照3倍計算出山羊數量，難題瞬間迎刃而解。

同樣，在小學應用題中，難點往往是給出一個已知條件，但并未給出另外的條件，需要學生能夠從逆向分析中，找到另外的條件。如某題：工廠生產零部件，每天生產2000個，10天可完成;為了提前完成，如果每天多加工500個，問比原計劃提前幾天完成？該題求解的是實際天數比計劃天數少幾天，需要我們計算出實際天數。但這個天數是未知的。根據原計劃，每天2000個，10天完成，則可以求解出總數量。第二種方案是每天多加工500個，則每天加工2500個，根據總數量、每天加工量可以計算出實際天數，20000÷2500=8（天）。題目需要求解的是提前了幾天，8天與10天進行比較，則10-8=2（天）。

■五、結語

逆向思維作為一種數學求解思路，其應用要結合具體的題目靈活選擇。通常，面對數學難題，需要把握兩點：一是尋找題設條件，哪些是已知，哪些是未知，根據已知可以推導出哪些中間量，與求解目標有何關系。二是在分析題意時，可以從逆向思維來嘗試求解，由問題的結果，從逆向推導中一步步回溯，找到解題方法。在平時，教師要重視逆向思維的訓練，讓學生能夠從逆向思維應用中，深刻理解題意，找準求解關鍵點，增強難題求解信心，提升數學解題素養。