數學思維與表述能力之間的相互促進

徐日銀

摘? 要：如何判斷學生在數學學習的過程中思維是否得到培養，這對于數學教師而言是一個較大的挑戰。面對這個挑戰，教師只能從學生學習結果表現的角度，去尋找判斷思維能力是否得到培養的依據。在中高年級學生的數學學習過程中，學生的思維能力培養與表述能力培養之間存在著相互促進的關系。學生通過大量復雜的思維，可以強化自己的邏輯思維;而當學生用簡潔的語言描述學習結果時，他們的思維又得到了純化、強化。因此可以認為：思維能力與表述能力之間是可以相互促進的。在實現學生在數學學習過程中思維能力與表述能力相互促進的時候，教師必須關注的一個核心是：學生才是這個過程中的主體。

關鍵詞：中高年級學生;數學思維;表述能力

在小學中高年級的數學教學中，培養學生的思維能力與表述能力，是兩個基本任務。小學是培養學生學習能力的啟蒙階段，是學習習慣形成的重要時期。升入中高年級之后，學生的思維方式開始發生轉變，主動思考的情形逐漸增加，并且能夠表達自己的看法，這時應側重于學生思維能力的培養。數學學習對思維本身就有較高的要求，同時數學學習的過程又是一個思維能力培養的過程，但是思維是內在的，如何判斷學生在數學學習的過程中思維是否得到培養，這對于數學教師而言是一個較大的挑戰。面對這個挑戰，教師只能從學生學習結果表現的角度，去尋找判斷思維能力是否得到培養的依據。很顯然，學生在數學學習之后的表述能力，就是學生學習結果的一種表現。同時，進一步的研究還發現，在中高年級學生的數學學習過程中，學生的思維能力培養與表述能力培養之間存在著相互促進的關系，文章將結合實踐案例對這兩者之間的關系進行一個梳理。

■一、小學數學教學要重視思維能力和表述能力的培養

首先必須強調的一點就是，中高年級的小學數學教學必須重視思維能力和表述能力的培養。其主要原因在于：處于中高年級段的小學生，正是思維能力培養的黃金時期，而這個時候的數學學習內容，也能夠為學生思維能力的培養提供很好的機會。思維能力與表述能力之間的關系，可以這樣理解：思維能力是內斂的，而表述能力是外顯的，學生表述的內容就是自己思維的內容，學習一個數學知識之后如何進行表述，既關系到學生對數學概念、數學規律及其之間的關系的理解，也對應著學生的學習能力;同時必須注意的是，學生建構了數學知識之后，在思考如何進行表述時，也是一個重要的思維階段。而從教師掌握學生學習情況的角度來看，關注學生的表述能力的過程，其實就是判斷自己教學效果的過程。正因如此，才有人說“學數學不如做數學，做數學不如說數學”，在筆者看來，這句話很好地解釋了數學思維表達能力在數學教學中的重要性。然而，從我們平時的數學課堂教學中可以看出，我們學生的數學思維表達能力還不太理想，這也說明數學教師在學生的思維能力和表述能力培養方面需要付出更多的努力。

其實學生數學思維能力、表述能力不強的原因是多方面的，首當其沖的就是應試形態下的小學數學教學常常讓學生機械地學習并運用知識，在這樣的學習過程中，思維的空間較小，思維含量較低，因此思維能力和表述能力都不容易得到培養;另一個原因在于，教師有時不能很好地把握思維能力與表述能力之間的關系，或者說不能根據學生的表述去判斷學生的思維情況。這兩個原因實際上對應著教師的認識和能力問題，只有教師認識到學生思維能力和表述能力培養的重要性，知道如何根據學生的表述去判斷學生的思維，才能讓學生在數學學習的過程中很好地實現思維能力與表述能力的相互促進。

■二、在知識建構中實現思維能力與表述能力相互促進

思維能力的培養與表述能力的培養，與學生的數學知識建構過程是同步的。因此，在數學知識建構的過程中實現思維能力和表述能力的相互促進，應當是數學教師面對中高年級學生的最佳選擇。從宏觀的角度來看，判斷力、論證力、推理力、概括力、綜合力、理解力、抽象力等是常見的思維能力，屬于智慧的核心范疇，是智慧活動的樞紐。依托小學數學課程培養學生的思維能力，是立足于數學學科特點，從不同角度培養學生的思維靈活、敏捷等基本素養的教學方法。下面就以“多邊形的內角和”為例進行詳細說明。

在“多邊形的內角和”知識學習之前，學生已經知道了三角形的三個內角和是180度。也就是說，從知識邏輯的角度來看，學生通過邏輯推理是可以得出多邊形的內角和的，關鍵就在于學生能否發現多邊形與三角形之間的關系，并且在發現了推理的邏輯之后，能否對邏輯推理的結果進行有效的表述。于是在實際教學中，筆者重視了這樣三個環節：

第一個環節：猜想。在明確了“如何求四邊形的內角和”這個問題后，讓學生通過自主思考或者自主活動（包括自發的小組合作或者是跨小組合作）等方式去探究問題的解決方案。這個過程中，筆者觀察到了學生這樣的一些學習行為：他們會在自己的草稿紙上畫出一個四邊形（不少學生下意識畫的是長方形），于是他們猜想四邊形的內角和是360度，而且對自己的猜想往往深信不疑。

第二個環節：證明。有了猜想之后，自然是去證明。這個時候學生的思維往往表現出一定的發散特征：不少學生認為長方形不能代表所有的四邊形，因此學生的推理方向很快轉變為假如是一個一般的四邊形，如何證實其內角和是360度？部分學生的第一反應是用量角器去量，對于學生的這一行為，教師應當鼓勵。在學生動手測量完畢，并且發現4個角的和近似地等于360度時，教師可以進一步追問：有沒有其他更好的方法呢？這個問題自然能夠驅動學生進一步思考，思維也就進一步深入。無論學生能否想到辦法，在這樣一個過程中學生都總是處于高效思維的狀態，所以當最后有學生畫出一條對角線，將四邊形分成兩個三角形之后，不少學生欣喜若狂，感覺這個方法非常奇妙。此外，更有學生發現：如果自己面對的是五邊形或者六邊形，其實也可以通過這種方法得出多邊形的內角和。

第三個環節：表述。當學生在思維、操作中已經發現了求多邊形內角和的方法之后，自然要讓學生將自己的發現表述出來——這不只是為了培養學生的表述能力，同時也是為了強化學生的數學學習認知。大量的教學經驗表明，如果只是讓學生想、讓學生做，而不讓學生去運用、去表達，那他們掌握的知識就不牢固。事實上，對于多邊形的內角和，學生最初的表達確實是有疏漏的地方的，比如有學生說“要求多邊形的內角和，就看這個多邊形里面有幾個三角形”，也有學生說“多邊形的內角和就等于多邊形的邊數減去2，然后乘360度”……這樣的表述具有典型的生活語言的特征，不滿足數學語言精確、簡潔的特征，因此需要引導學生去轉換。

事實表明，學生通過大量復雜的思維，可以得出多邊形內角和的計算公式，可以在生活語言向數學語言轉換的過程中強化自己的邏輯思維;而當學生能夠用簡潔的語言描述多邊形內角和的計算方法時，他們的思維又得到了純化、強化。因此可以認為：思維能力與表述能力之間是可以相互促進的。

■三、思維能力與表述能力相互促進過程中的學生地位

培養學生的思維能力與表述能力，在數學學習過程中實現思維能力與表述能力相互促進時，教師必須關注的一個核心是：學生才是這個過程中的主體，因此必須關注學生的主體地位。

數學是一門抽象的學科，中高年級的學生已經具備了一定的抽象思維能力，在遇到不同難度的學習內容的時候，中高年級的學生也往往能夠在形象思維和抽象思維之間做出比較好的切換，所以從這個角度講，中高年級階段是思維能力和表述能力培養的重要階段。在這個階段中，讓思維能力和表述能力之間形成相互促進的良好循環，對于學生建構數學知識、生成數學學科核心素養來說，具有很大的幫助作用。

數學教育家斯托利亞爾指出：“數學教學就是數學語言的教學?！币虼?，作為一名小學數學教師，必須改變小學生用生活語言表達對數學知識理解的習慣，培養學生的數學語言表達能力，從而促進其思維能力的發展。筆者在多年的中高年級數學教學中一直高度重視這個學段的學生在數學學習過程中表現出來的思維特點，比如筆者就發現：當中高年級學生遇到較為抽象的數學問題時，他們會直接通過畫圖或者自己尋找例子的方式，來化解自己思維上的困難。這種思維特點就決定了在培養學生思維能力的時候，教師可以在學生的最近發展區域內選擇難度稍大的問題，以培養學生的思維切換能力。總的來說，面對中高年級的學生，思維能力與表述能力之間的相互促進是可以實現的，這應當成為課堂上的一個常態。