數學哲學：核心素養視角下再回眸

惠靜

[摘? 要] 在高中數學教學的傳統當中，歷來有同時重視數學與哲學的選擇，在數學教學的視野里，也常常閃爍著哲學的影子. 考慮到核心素養有必備品格與關鍵能力培養的兩個基本目標，考慮到學生在經由數學學習之后可能形成科學的數學眼光、嚴密的數學邏輯、準確的數學語言，于是可以發現，這兩者是高度對應的：核心素養視角下對數學哲學進行思考，有助于提升數學的教學實踐智慧;核心素養視角下對數學哲學精神的思考，有助于提升高中數學課堂的思維層次. 數學哲學與數學學科的核心素養，無論是在教學理解的過程中，還是在教學實施的過程中，都能夠相互促進.

[關鍵詞] 高中數學;數學哲學;核心素養

數學與哲學的關系之密切，遠超其他學科，在高中數學教學的傳統當中，歷來有同時重視數學與哲學的選擇，在數學教學的視野里，也常常閃爍著哲學的影子. 縱觀數學發展史，有關數學哲學的研究，曾經風靡過一個時代（例如，1890年到1940年期間，曾被稱為“數學哲學研究的黃金時代”）. 這樣的數學發展歷史說明，數學確實是一門異于一般學科的學科，它是哲學學科之下與自然科學與社會科學并存的“數學科學”. 進一步的研究表明，數學有工具品格與文化品格，后者在實際教學中尤其要予以強調，對數學核心素養的理解要超越核心概念層面，進一步的比較則表明，其與數學科學及文化品格有著相通之處. 在高中教學的實際當中，數學教師往往重視的是數學而非哲學，這與當前的考試評價有關，畢竟以試題為形式、以分數為結果的考試評價，只能衡量學生在數學學習過程中的知識建構與運用結果，對數學哲學的評價基本上很難通過量化的形式來進行，這在客觀上導致了重數學而輕哲學的現象. 但是考慮到當下的高中數學教學，有著數學學科核心素養培育的任務，而核心素養是培育必備品格與關鍵能力的，數學學科核心素養則致力于培育學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析、數學運算與直觀想象等. 要想真正實現這些目的，筆者以為，數學哲學不能缺位，在核心素養的視角之下，對數學哲學的再度思考，也應當成為每一個高中數學教師的必修課.

■核心素養視角下數學哲學的思考

在核心素養的視角之下思考數學哲學，筆者以為，有著充分的必要性. 這是因為，古往今來，哲學都是一切知識之本，所以對于中學數學學科來說，缺乏哲學的基本知識和基本素養，也就無法具備直觀想象和數學抽象，更不能形成理性思維. 而直觀想象、數學抽象及理性思維正是數學核心素養的核心. 考慮到核心素養有必備品格與關鍵能力培養的兩個基本目標，考慮到學生在經由數學學習之后可能形成科學的數學眼光、嚴密的數學邏輯、準確的數學語言，于是可以發現，這兩者是高度對應的，發現這種對應關系可以生成對數學哲學的更多思考. 具體有二：

其一，核心素養視角下對數學哲學進行思考，有助于提升數學的教學實踐智慧.

人們常說實踐出真知，對高中數學教學而言也是如此，對于高中數學教師而言，實踐就是教學;對于高中學生而言，實踐就是數學學習. 要理解這種實踐關系，教師首先應當在理念上站上更高的層次，這個層次可以用數學哲學來描述. 作為數學觀的理論形式，數學哲學闡述的是數學發生與發展的一般規律，站在規律的角度，而不是純粹解題甚至是刷題的角度去認識高中數學教學，這顯然有助于數學教師提升教學的實踐智慧.

其二，核心素養視角下對數學哲學精神的思考，有助于提升高中數學課堂的思維層次.

數學是思維的學科，我國高中數學教學尤其重視思維發展，在數學學科核心素養的六大要素當中，可以說每個要素都與思維相關，比如說邏輯推理，邏輯推理可以通俗地理解為有邏輯的推理，邏輯如何理解，推理如何進行，這些都與思維相關. 著名數學家萊布尼茲曾經有一個著名的判斷，這就是“數學真理就是邏輯真理”的思想，從某種程度上講，這一判斷就是一個哲學判斷，類似于此的判斷可以提升高中數學課堂的思維層次.

■基于核心素養培育的數學哲學踐思

在上述理解的基礎之上，高中數學教師應當在核心素養培育需要的基礎之上，對數學哲學進行積極的實踐與思考. 考慮到數學學科核心素養的要素較多，這里僅以數學建模為例進行闡述. 數學建模在數學學科核心素養的要素當中，具有承上啟下的作用，對思維尤其是數學思維有著高度的依賴，因此站在數學哲學的角度去建立數學建模的視角，指出數學建模是發揮育人功能的核心，在問題解決和科學決策的過程中讓學生感受到數學的美好，激發學生對知識和現實世界的熱愛. 舉一個例子，函數是高中數學知識體系中最為重要的知識之一，學生在初中數學階段已經積累了一些函數經驗，在這個經驗的基礎之上，建立起數學哲學的視角，去設計本內容的教學，就可以在適當的時候穿插與數學哲學相關的內容，這既能促進學生建構起函數知識及其體系，又能培養學生運用函數知識解決問題的能力，更能實現數學學科核心素養的培育.

筆者在教學中結合函數概念的發展歷史，主要摘取了這樣幾個知識點：一是人們研究函數的初衷，這與17世紀科學家對運動的研究相關，無論是研究身邊物體的運動，還是研究天體的運動，都涉及了多個量，這些量之間存在著互相影響的關系，這也就形成了函數產生與發展的背景;二是萊布尼茲發明了函數概念之后，重點用其表示隨曲線的變化而改變的幾何量，這些幾何量就是數學中的坐標、切線等;三是萊布尼茲的學生伯努利明確指出函數要用公式來表示.

這幾個知識點在函數知識的教學中擇機滲透，可以收到意想不到的好處：第一個知識點在建立函數的概念，讓學生在理解抽象的函數概念的時候，有一個豐富的背景，也就是說學生不僅知道函數是什么，還知道函數從何而來，這也就意味著學生大腦中的函數概念可以建立在實例的基礎之上. 對這種重要概念的教學，理清其中的來龍去脈，是數學哲學的重要體現，在發展學生思維能力的同時，也提升了教學的層次. 第二個知識點呼應著學生對函數的理解. 大量教學經驗表明，在集合以及對應法則的基礎之上理解函數，感覺非常抽象，而在介紹萊布尼茲的相關知識之后，就會消除學生的抽象感，讓學生真正建立起對函數概念、實質的認識;第三個知識點則更加重要，很多情況下，大多數學生都認為函數用公式來表示是自然而然的，而函數發展的數學史告訴我們，事實并非如此，這反而可以讓學生認識到用公式表示的函數可以濃縮函數的精華，也意味著學生在理解函數的時候多了一種方式. 人們常說公式是最簡潔的數學語言，意義也正在于此，這實際上也是從數學哲學的角度形成的認識.

在對包括這個教學案例在內的所有教學案例反思的過程中，筆者發現數學哲學在高中數學教學中的滲透都是隱性的，教師在教學設計的時候，可以充分思考數學哲學能夠發揮什么樣的作用，并且結合具體的教學內容去進行設計，但是到了具體的課堂上，數學哲學的相關理念一定是隱藏在具體的知識之后的，這也就意味著在教學的過程中，學生學習的重點依然是知識建構，只不過知識建構的過程多了一些哲學意味，這樣也就保證了數學哲學能夠真正落到實處.

■用數學哲學的目光看學科核心素養

在核心素養的視角之下思考數學哲學，并不意味著數學哲學是核心素養的下位概念. 恰恰相反，數學哲學的歷史遠比核心素養要悠久，只是當前高中數學教學處于核心素養培育的背景之下，因此要對數學哲學進行新的思考. 而從邏輯的角度來看，事實上數學學科核心素養的培育也離不開數學哲學的引導，因此用數學哲學的眼光看數學學科核心素養的培育，也應當是高中數學教師的必修之課.

比如用數學哲學的目光看數學學科核心素養的組成要素，就可以發現這些要素之間既有區別又有聯系，既分立又成為整體. 當然，揭示數學核心素養的辯證統一并不是為了在哲學上完成某種理論的辨析，而是要給現實教學帶來某些實質性的啟示. 在筆者看來，這種啟示就是對數學學科核心素養的培育要多一個視角，這個視角應當具有一定的哲學意味. 只要做到這一點，數學哲學就可以成為高中數學教學的有機組成部分，在具體的教學過程中也就能夠體現出來.

綜合以上分析，可以得出的結論是：數學哲學與數學學科核心素養，無論是在教學理解的過程中，還是在教學實施的過程中，都能夠相互促進. 對于數學教師而言，當務之急是積累經驗，形成新的教學思路.