小問題下的大數學

范麗麗

【摘 要】基于數學整體觀下，立足于生長式教學，由一道簡單的代數式比較大小的題目引起的一系列聯想，激發學生發散思維，形成數學知識結構化網絡。

【關鍵詞】整體觀;結構化;發散思維;生長教學

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出數學教學應引導學生通過思考、探索數學問題，發展數學獨特思維，注重數學知識之間的聯系，對于同一個問題，可以從不同的角度建模，引導學生感受數學的整體性。這就要求教師基于數學整體觀，在組織教學內容時加強知識之間的結構化聯系，在潛移默化中培養學生發散、類比遷移、積極探究的能力。

在一輪復習的過程中，遇到這樣一個問題，（-1，y1）、（1，y2） 是一次函數y=-2x+b上的兩點，請比較y1與y2的大小。大多數學生想到的方法是根據一次函數的增減性判別函數值的大小，很少有同學會把兩點代入函數表達式，從代數式的角度去想這個問題，他做函數題，他眼中看到的只有函數，心中想到的也是用函數知識去解決。這種單一的思維方式是怎么造成的呢？一是由于學生滿足于會做題即可，缺少思考，缺少融會貫通;另一方面有些教者放不開，會無意識地將原本整體的數學知識人為地割裂，導致學生忽略數學知識的整體性、貫通性。數學教學不應被看成孤立、固定的“模塊”式教學，而應是展現數學發現過程的教學，應是一種生長式的教學。基于以上的思考，筆者在教學中設計這樣的一個案例：

例1.如何比較2+b與-2+b的大小呢？你有哪些方法？

學生的反應是很“不屑”的，覺得老師給的問題太簡單。

S1：利用不等式的性質1，因為2>-2，所以2+b>-2+b。

S2：可以用作差法，因為2+b-（-2+b）=4>0，所以2+b>-2+b。

T：還有別的辦法？

（下面沒有什么聲音）

T：誰可以從函數的角度來解決這個問題？

（大家正襟危坐，開始逐漸轉變對這道簡單題目的態度，認真思考起來。）

S3：我們可以找到一個函數y=x+b，當x=2時，y=2+b;當x=-2時，y=-2+b。因為y=x+b是一個增函數，y隨著x增大而增大，所以2>-2時，2+b>-2+b。

S4：我們可以找到一個函數y=-x+b，當x=2時，y=-2+b;當x=-2時，y=2+b。因為y=x+b是一個減函數，y隨著x增大而減小，所以2>-2時，-2+b<2+b。

（這時候，大家的思路被打開了。氣氛頓時活躍起來，很多學生舉手想要表達自己的想法。）

S5：照他們的說法，我們也可以找函數y=2x+b。

S6：（搶著回答）那也可以找函數y=-2x+b啊！

T：我們可以用任意一個形如y=kx+b的一次函數模型來解決嗎？比如y=-4x+b？

S眾：可以，設一個函數y=-4x+b，當x=-■時，y=2+b; 當x=■時，y=-2+b。因為y=-4x+b是一個減函數，y隨著x增大而減小，所以-■<■時，2+b>-2+b。

T：大家都非常厲害！我們已經發現當把2，-2看作變量，b看作常量時，尋找任意一個一次函數，利用函數增減性解決問題。那可不可以創設兩個一次函數，對于變量取同一個值時，比較函數值的大小解決問題？

（大家又陷入一片思考之中）

這時一個聲音：我可以！

S7：我們可以設兩個函數y1=x+2、y2=x-2，當x=b時y1=

b+2，y2=b-2，從函數圖像上看，只要x確定為同一值時，y=x+2上所對應的點肯定在y=x-2上所對應的點的上方，所以當x=b時，b+2>b-2。

[思考]我內心是激動的，在教學上，只要我們老師一點嘗試，一個引導，就能收獲到如此多的驚喜。一道簡單的代數式題目能引出學生這么多有趣的思考。題目本身雖簡單，但是能透過簡單看到數學知識之間的聯系是很難的，也是我們在平時教學上所缺失的，就是我們教師能不能站在更高的角度從數學整體的大局觀來引導學生發現代數式、方程、不等式、函數四大模型的內在聯系。教學時要引導學生到整個結構體系里，看到代數式要看到不等式、方程、函數，它們是一體的。知識結構性決定不應將零散的、孤立的知識教給學生，要讓學生在生長式教學中得到知識、能力的“生長”。我相信這道簡單的題目帶給學生的沖擊是震撼的，印象是深刻的，影響是巨大的。在學生心里埋下一顆數學整體觀的種子是值得的，它會在悄無聲息中生根發芽，但是需要我們教師適時澆灌。

學生的成長有其基礎性、階段性、循序性，教師應該以學生的認知發展水平和已有的知識結構為基礎，利用生長式教學激發學生的發散思維，從一點發散觸及其他，把握知識的體系。數學知識具有嚴密的邏輯性，知識內部結構聯系緊密。

教師要引導學生把數學知識在大腦里形成知識結構網絡，感受數學的整體性。這就要求在組織教學內容時加強知識之間的縱向與橫向聯系，讓學生多一點數學整體觀意識。

教師有創新精神，整體意識，擴散的思維;學生才有積極主動的探索意識與能力。貌似大相徑庭的現實世界，實則殊途同歸的數學問題。

【參考文獻】

[1]夏紅蘭.“整體觀”視角下的函數教學實踐[J].中學數學（初中版），2011（12）

[2]劉莉.見木又見林[J].數學之友，2018（12）

[3]陳瑞剛.基于“結構化”視野的小學數學課堂教學重構[J].數學教學通訊，2018（7）

[4]岳海英.例談“生長”教學觀下的高考試題的教學思考[J].中學數學研究，2010（9）

（南京市浦口外國語學校，江蘇 南京 ?210000）