關(guān)于《長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)再思考

韓輝

摘? 要：著名心理學(xué)家奧蘇泊爾有這樣的觀點(diǎn)：假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理，那么，我將一言以蔽之：影響學(xué)習(xí)的唯一最重要的因素，就是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué)。這也是我們?cè)诮虒W(xué)中的一條“鐵律”。這條“鐵律”告訴我們，在教學(xué)中學(xué)生已有的基本經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)成為我們教學(xué)的起點(diǎn)。文章結(jié)合《長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)》的教學(xué)實(shí)際情況，就如何基于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)展開探討。

關(guān)鍵詞：教學(xué)反思;教學(xué)設(shè)計(jì);長(zhǎng)方形;正方形

最近，聽了兩節(jié)關(guān)于《長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)》的課，兩位教師的教學(xué)設(shè)計(jì)都是落腳在引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和操作認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形的一些基本特征，概括出體會(huì)長(zhǎng)方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別。這些的確是教學(xué)的重點(diǎn)，但真的是教學(xué)的難點(diǎn)嗎？課堂上，教師、學(xué)生花很大的力氣用一節(jié)課開展的探究活動(dòng)，到底發(fā)揮了多大的價(jià)值？筆者認(rèn)為，這節(jié)課探明教學(xué)的起點(diǎn)至關(guān)重要，落實(shí)“圖形與幾何”的教學(xué)目標(biāo)是值得思考的。

我們不妨回憶一下知識(shí)呈現(xiàn)的邏輯關(guān)系：在一年級(jí)學(xué)生已經(jīng)直觀地認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形、正方形的形狀，通過折一折、擺一擺、剪一剪、拼一拼等活動(dòng)，初步了解了圖形的特點(diǎn)，學(xué)會(huì)辨別與區(qū)分。三年級(jí)再次出現(xiàn)正方形和長(zhǎng)方形時(shí)，教學(xué)就應(yīng)該站在一年級(jí)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生從“角”和“邊”的特點(diǎn)這個(gè)視角來尋找、概括長(zhǎng)方形和正方形的特征，比較二者的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)生的思維需要經(jīng)歷從表象認(rèn)識(shí)到理性思考的跨越。所以，教學(xué)的目標(biāo)更應(yīng)該體現(xiàn)該領(lǐng)域的核心價(jià)值。

■一、聯(lián)結(jié)經(jīng)驗(yàn)，由“日常概念”到“幾何概念”

“圖形的認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容，主要在于刻畫圖形的特征。誠(chéng)如鄭毓信教授指出的那樣，對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)不應(yīng)停留在“經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識(shí)”，特別是相關(guān)概念的現(xiàn)實(shí)原型或直觀表象，而應(yīng)幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)：幾何抽象也是一個(gè)重新構(gòu)建的過程。

【片段1】

老師上課前給大家布置了一項(xiàng)任務(wù)，還記得吧？（每人做4個(gè)正方形和4個(gè)長(zhǎng)方形）你能說說，怎么做的嗎？學(xué)生表示都是依據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)通過折或量的辦法制作了長(zhǎng)方形和正方形。再提出一個(gè)更高層次的問題：“憑什么說它是長(zhǎng)方形或正方形呢？”引導(dǎo)學(xué)生由經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，想辦法進(jìn)行歸納、推理、證明，從而縮短學(xué)生與學(xué)習(xí)內(nèi)容之間的距離，引發(fā)學(xué)生內(nèi)在的探究欲望。

這個(gè)教學(xué)片段的設(shè)計(jì)讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察圖形—驗(yàn)證圖形—概括特點(diǎn)的圖形證明過程中，提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力。學(xué)生之前認(rèn)識(shí)的長(zhǎng)（正）方形是“日常概念”，而數(shù)學(xué)中所說的長(zhǎng)方形或正方形不是簡(jiǎn)單地等同于日常生活中所看到的圖形，不應(yīng)該靠直觀表象進(jìn)行判斷，必須從特征中進(jìn)行求證判斷，具有一般意義上的長(zhǎng)方形（正方形），即以抽象的“幾何概念”的建立作為這節(jié)課的研究方向。

■二、經(jīng)歷探究，由“簡(jiǎn)單操作”到“數(shù)學(xué)證明”

在探究“長(zhǎng)方形和正方形有什么特點(diǎn)”時(shí)，要重點(diǎn)關(guān)注怎樣在有限的時(shí)間里讓探究真正發(fā)生，而不是滿足于盲目的、低效的簡(jiǎn)單操作。在活動(dòng)前，應(yīng)該讓學(xué)生思考：我們要證明什么？怎么證明？怎樣表達(dá)自己的證明成果？給學(xué)生一個(gè)研究問題的方向。當(dāng)然，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明已經(jīng)超過了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，但是應(yīng)當(dāng)讓他們清楚為什么需要這樣去做。

【片段2】

1. 請(qǐng)描述一下怎樣的圖形是長(zhǎng)方形？以此喚醒學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生邊匯報(bào)、邊整理、邊板書，如下：

長(zhǎng)方形，四條邊，四個(gè)直角，對(duì)邊相等。

2. 怎么證明長(zhǎng)方形對(duì)邊相等？怎么證明4個(gè)角是直角？

教學(xué)中，學(xué)生是通過折一折、量一量、畫一畫的活動(dòng)去證明自己的直覺發(fā)現(xiàn)。對(duì)于三年級(jí)學(xué)生而言，能夠自覺采用這樣簡(jiǎn)易的證明方式，已經(jīng)很不錯(cuò)了。但是，我們需要思考如何營(yíng)造更貼近數(shù)感的學(xué)習(xí)過程，通過操作得到的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)不應(yīng)該是教學(xué)的終點(diǎn)，它應(yīng)該和理性的分析聯(lián)系起來，讓學(xué)生初步感受數(shù)學(xué)證明的價(jià)值。

3. 如果長(zhǎng)方形對(duì)邊不相等，將是一個(gè)怎樣的圖形？

我們不僅要讓學(xué)生通過證明來回答“憑什么說它是長(zhǎng)方形或正方形？”還要，進(jìn)一步追問學(xué)生：“如果長(zhǎng)方形對(duì)邊不相等，將是一個(gè)怎樣的圖形？”首先，允許學(xué)生把自己想象的圖形畫出來，然后證明如果不滿足對(duì)邊相等的條件，也無法滿足四個(gè)直角，那么與我們實(shí)驗(yàn)揭示的長(zhǎng)方形的圖形特征不符。學(xué)生從“正例”和“反例”的比較中，體會(huì)到研究問題的路徑。

學(xué)生得出長(zhǎng)方形的特征后，反思回顧“剛才我們是用什么方法研究的？”“用這樣的研究方法可以研究正方形的特征嗎？”通過這些問題的追問，讓學(xué)生復(fù)制研究的方法，探索新的問題，復(fù)制研究的方法，探索新的問題，體會(huì)結(jié)論的來源不僅僅是直覺發(fā)現(xiàn)，還可以是邏輯推理。在教學(xué)中，我們要重視“動(dòng)手操作”，但更需要引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作基礎(chǔ)上向更高的目標(biāo)挺進(jìn)，將學(xué)生的注意力由單純的“動(dòng)手”引向深入的“思考”。

■三、加強(qiáng)比較，由“聯(lián)系轉(zhuǎn)化”到“空間想象”

與以往相比，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011實(shí)驗(yàn)稿）對(duì)“圖形的認(rèn)識(shí)”提出了新的要求。一是對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí);二是對(duì)圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。所以，本節(jié)課應(yīng)該改變以前只重特征的教學(xué)，而應(yīng)該基于學(xué)生幾何思維的實(shí)際水平，通過多種思維活動(dòng)的練習(xí)，加強(qiáng)圖形的比較，充分利用圖形的聯(lián)系與區(qū)別進(jìn)行轉(zhuǎn)化，妙用想象鞏固特征。

在教學(xué)中，我們需要引導(dǎo)學(xué)生深入考察長(zhǎng)方形和正方形之間的相互關(guān)系，幫助學(xué)生建立起整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。長(zhǎng)方形和正方形都屬于四邊形，是特殊的四邊形，而正方形也屬于特殊的長(zhǎng)方形。它們之間存在集合關(guān)系，即正方形是長(zhǎng)方形的子集，長(zhǎng)方形是四邊形的子集。對(duì)于三年級(jí)學(xué)生而言，學(xué)生不容易理解其中的集合關(guān)系，教師可以通過多種思維活動(dòng)的練習(xí)讓學(xué)生感受其中的關(guān)系。

【片段3】

1. 變一變

（1）既然長(zhǎng)方形和正方形之間有區(qū)別，也有聯(lián)系，那么，你有辦法把你手中的正方形變成一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？學(xué)生通過對(duì)折，將正方形變成長(zhǎng)方形，追問學(xué)生對(duì)折的目的是什么？（改變邊的長(zhǎng)度）長(zhǎng)方形可不可以改造成一個(gè)正方形？

學(xué)生都是通過改變邊的長(zhǎng)短，實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)方形和正方形之間互相轉(zhuǎn)變。緊接著讓學(xué)生思考為什么不通過改變“角”的辦法使圖形得以轉(zhuǎn)化呢？

我們通過這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“變化中的不變因素”，更凸顯了本節(jié)課的重點(diǎn)研究“圖形的特征”的價(jià)值，使概念得到了內(nèi)化。

（2）用一張長(zhǎng)12厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方形紙，折一個(gè)最大的正方形，正方形的邊長(zhǎng)是幾厘米？先讓學(xué)生想象一下折后的圖形是怎樣的，再做出合理的解釋。最后，還可以拓展想象一下，剩下的圖形是怎樣的圖形，它的長(zhǎng)、寬分別是多少？利用圖形間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

2. 猜一猜

（1）書中夾了一個(gè)長(zhǎng)方形或者正方形，露出一條邊，你可以判斷是長(zhǎng)方形還是正方形嗎？如果我允許漏出兩條邊，你覺得還需要哪條邊？為什么？

（2）如果漏出一個(gè)直角行不行？?jī)蓚€(gè)呢？三個(gè)呢？為什么？

通過猜的活動(dòng)，應(yīng)用圖形的特征進(jìn)行說理，由“直觀的認(rèn)識(shí)”上升到“概念的定義”，并進(jìn)行想象和推理。

3. 擺一擺、拼一拼

（1）拼一拼：

想拼成一個(gè)正方形，要用：

想拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，要用：

（2）擺一擺：發(fā)現(xiàn)幾個(gè)正方形可以擺成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形。

以上三個(gè)層次的練習(xí)設(shè)計(jì)基于圖形的特征、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，通過豐富的素材幫助學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、表達(dá)等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間想象、推理能力，理解概念內(nèi)涵。從而使“圖形的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)不再是單純地依賴模仿與記憶，而是著力幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

長(zhǎng)方形和正方形的認(rèn)識(shí)，是每個(gè)教師和學(xué)生都很熟悉的內(nèi)容，但人們常說：熟悉的地方?jīng)]有風(fēng)景。如果我們能重新思考“教學(xué)能承載什么？”“學(xué)生知道什么？”“我們可以帶學(xué)生到哪里去？”“我們?cè)鯓拥竭_(dá)？”……可能我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，熟悉的地方也會(huì)有不同的風(fēng)景。