初中階段數學運算中的致錯因素分析

文強

【摘要】本文通過對初中階段學生存在的數學運算錯誤類型進行歸類和歸因分析，試圖找到學生運算犯錯的思維圖示及路徑，從而探討更有效的教學策略和方法，以更好地解決學生的運算過關問題.我們通過本文的分析可以發現，數學運算的過程及結果是一種數學思維及能力的綜合體現.教學中，教師應把握住運算類型及其本質，并與學生當前的思維發展層次有效結合.提升運算能力的有效方法是通過實踐和反思的路徑，在糾錯的過程中逐步形成良好的運算習慣.

【關鍵詞】數學運算;致錯原因;教學策略

一、小學和初中階段教材關于數學運算的學習安排

小學階段，學習了加、減、乘、除四則運算及其法則，涉及對自然數的簡單分類：奇數、偶數、素數、合數、平方數.初中階段，首先引入了負數，完成了有理數的分類，然后又通過平方根引入了無理數，將數系擴充到了實數，并在此基礎上，引入了平面直角坐標系，完成了數形結合的工具性鋪墊.初中階段，在“數的運算”的基礎上發展“式的運算”，首先是學會用字母表示數，然后學習了整式及其運算，再以“等式的性質”引入方程，“不等式的性質”引入不等式，“分式的性質”引入分式的運算及分式方程.

二、初中數學運算的思維層次

初中階段的數與式的運算是建立在“數感”的基礎之上的抽象化、概念化、模式化的一種數學形式.所以，小學階段關于數與運算的核心目標應是發展“數感”，即能夠理解正有理數、0的意義以及它們之間的聯系和大小關系.多種直觀方式的呈現，可以啟迪學生思考，以便其形成良好的“數學直覺”（Howden）.良好的數感，能幫助學生有效地進行數的分解，并進行良好的數的運算，能估計運算結果并對結果的合理性做出理性判斷，形成良好的數、問題及結果的“直覺的素質”（Sowder）.

初中階段首先擴充了負有理數，關于數的運算是以有理數為重點，繼續鞏固和發展“數感”和“運算直覺”.這一核心目標必須貫穿于整個數系的擴充過程，不然，代數系統的抽象性將成為學生學習的障礙.由于代數運算還具有系統性，所以，前面的學習基礎勢必會影響到后續的學習效果.所以必須每一處的運算都嚴格過關，從而達到學習目標，使得下一階段的學習順理成章.

運算作為一種重要的數學能力，應當得到充分的重視.即使在人工智能時代的今天，數學學習中，運算能力也不應淡化.這里談的數學運算，主要涉及算理和算法的選擇和優化.它不單單是計算，更是一種逐步升級的思維形式，是數學核心素養的重要組成部分.運算能力的缺失，將造成數學核心能力和素養的缺失，而缺乏熟練的運算能力會影響問題解決的結果.

三、對初中學生的常見運算錯誤的分析

作為一線初中教師，教學過程中對初中學生的常見運算錯誤都深有體會.學生的運算不過關是比較痛苦的，常常會發生一些意想不到的錯誤，使人哭笑不得.筆者每當看到學生的這些錯誤時，就開始思考，究竟是什么原因導致了這些錯誤？能不能找到合適的路徑避免這些錯誤的發生？學生運算錯誤能不能通過有效的思維層次的圖示顯性化地展示出來？

（一）初中階段學生常犯的幾種運算的錯誤類型及思維過程分析

類型一 運算法則的“負遷移”

錯誤：12+13=25;正解：12+13=36+26=3+26=56.這是小學階段的分數相加問題，是學生運算能力形成過程中的一個重要轉折點.該題涉及一個通分的中間運算，也就是有兩個運算層次.解答此題時，學生需要將運算的形式和內容進行分離，從法則上理解分數的加法的運算實質.學生正是因為沒有正確理解分數的加法的運算實質，錯誤地將分子、分母簡單相加造成了此處錯誤.這種錯誤類型我們稱為“負遷移”，即一種學習對另一種學習起到了干擾和阻礙的作用.學生進入初中之后，這一類錯誤會更加頻繁地發生，如錯誤：a3·a2=a3×2=a6;正解：a3·a2=a3+2=a5.這個錯誤是由于學生對乘法的“負遷移”造成的.加強對比認知和舉反例是有效避免此類錯誤的方法.

類型二 運算律的問題

錯誤：3÷12×2=3÷1=3;正解：3÷12×2=3×2×2=12.這是小學階段四則運算中運算順序問題，對初中數學的學習有著重要的影響作用.這里學生的錯誤來自心理的惰性選擇，認為先計算12×2會使得計算簡便，錯誤地認為這是在做簡便運算，其實這是對“簡便運算”的實質沒有吃透.簡便運算必須遵循“運算律”.這類錯誤的發生不僅是對運算律的忽視，更是對運算的底層邏輯的忽視，是比較嚴重的運算問題.如錯誤：-3-2=-（3-2）=-1;正解：-3-2=-3+（-2）=-（3+2）=-5.明確運算類型，規范化使用運算性質和運算律是解決此類問題的方法.

類型三 運算的形式及概念的問題

錯誤：4=±2;正解：4=2.這里是由于學生不能正確理解 的含義而致錯，主要原因是學生對算術平方根及平方根的概念及其符號的表示產生混淆.算術平方根的運算符號是 ，平方根的運算符號是± .加強符號語言與文字語言之間的表達轉換訓練是解決此類問題的方法之一.

類型四 被逼無奈的“法則創造”

錯誤：由（x+1）2=4，得x2+12=4，得x2=3，得x=±3;正解：由（x+1）2=4，得x+1=±2，得x=-3或1.“（x+1）2=x2+12”這個錯誤，形式上看來是對積的乘方“（ab）n=an·bn”的“負遷移”，但從教材的編排順序可以發現，學生形成此類錯誤時，并未學習積的乘方的法則，所以不可能是對積的乘方的“負遷移”，其實是學生缺乏“整體”的觀念，在被逼無奈的情況下，“創造法則”所致.所以，教學中適時滲透“整體”等基本數學思想是很必要的.

類型五 數到式的過渡出現問題

剛學習負數時，很多學生錯誤地認為-a一定表示負數，把正數和負數的表達固化為“+”和“-”的形式.這是由于數到式的過渡出現了問題.在后續學習中，有的學生出現如下錯誤：已知a<0，解ax>-1，得x<1a.學生給出的解釋是“因為a是一個負數，所以相除應該是一個正數”，這點本來沒有問題，但是他認為表示正數的式子就不應該帶負號，這是一個很大的問題.在學習每一種新的運算時，教師要加強舉例說明，并多以具體的例子加強對比，使得學生在認知結構上進行有效的“同化或順應”（Piaget）.

類型六 運算過程中的表達不規范、不完整的問題

錯誤：3-2-3=3-2-3=1-3;正解：3-2-3=3-2-3=1+3.該題的錯誤是由于學生去掉絕對值符號后，沒有添加括號，操作不規范、不完整而導致的.出現這類錯誤可能是學生缺乏“算式及整體”的概念所致，所以，在數到式的過渡中，加強“整體觀念”的形成是很重要的.

類型七 混淆式子類型、法則

學生不能區分算式和等式，將等式性質誤用到算式變形中.比如：將a3+b2+c變形成2a+3b+6c，這里，學生通分后，將分母“吃掉”了，這是因為解方程中“去分母”的學習過程對算式的運算造成了干擾.類似的錯誤還常出現在因式分解部分.如因式分解a26+2ab3+2b23.錯解：a26+2ab3+2b23=a2+4ab+4b2=（a+2b）2;正解：a26+2ab3+2b23=16（a2+4ab+4b2）=16（a+2b）2.明確運算的對象和類型，加強概念教學可以有效避免此類錯誤的發生.

類型八 “逆運算”等運算形式的轉化障礙

錯誤：由3x=2，得x=32;正解：由3x=2，得x=23.這是初中解方程中化系數為1時，學生常常發生的“倒除”現象.出現這類“倒除”現象可能是學生對乘法“逆運算”的理解不到位，也可能是除法與分數形式互相轉化的過程中，分子、分母位置對應錯誤所致.類似的錯誤：由12x=2，得x=1;正解：由12x=2，得x=4.進行有效的錯誤歸因和分析，尋找致錯因素的本質，可以提升正確使用運算性質的能力.

（二）運算習慣對運算結果的影響

良好的運算習慣包括：規范使用草稿紙、遇到運算障礙時良好處理、對運算錯誤進行歸因、良好的運算心理素質.下面我們將通過一些實例和數據，談談這些習慣對運算結果的影響.

筆者對其校多個班級的學生進行了關于數學運算的調查，結果顯示如下：

1.規范使用草稿紙的學生運算成績整體優于草稿紙使用不規范的學生.沒有專用草稿紙（占比約30%）和常常不使用草稿紙（占比約10%）的學生犯低級運算錯誤的可能性更大.

2.遇到運算障礙時，運算成績優秀的學生約有70%會及時調整思考方法，放棄比例約有15%，而運算成績較差的學生僅有37%會及時調整思考方法，放棄比例約有42%，剩下的部分學生則選擇堅持一種方法持續嘗試.

3.運算致錯歸因方面，知識性致錯占比約26%，過失性和能力性（包含運算法則混淆使用的情況）致錯占比約74%，同一題目中，單一因素致錯的比例在65%左右.其中，運算成績優秀的學生知識性致錯占比較低，約5%，運算成績較差的學生知識性致錯占比較高，約38%.能夠規范使用運算性質和運算律進行運算的學生，成績明顯優于使用運算性質和運算律意識較差的學生，且過失性致錯更少，擁有更強的運算能力.

4.心理的惰性因素也被認為是運算致錯的主要因素之一.學生由于心理的惰性，總想跳過必要的步驟或規則，以求得更快的速度，這個過程中，就會導致其思維的盲區，混淆法則、誤用法則、“創造”錯誤法則等現象頻頻發生.調查結果顯示，運算成績優秀的學生，擁有更好的心理素質，大多數能夠靜下心來按步驟規范操作，對于錯誤也能更好地進行歸因和分析.

四、初中階段數學運算的教學策略與選擇

數學概念的掌握對運算能力的形成有著重要的作用，沒有概念作為基礎的運算策略，常被遺忘或混淆（Kamii ）.所以，教師應適當強化數學概念的教學，使學生通過概念對運算的對象和法則進行界定，從而使學生有效避免運算法則的混淆.

初中階段（12～15歲），學生開始進入形式運算階段（Piaget）.其實，具體運算到形式運算之間存在著一個質變.在具體運算思維階段，學生習慣于解釋具體的客觀事物和事件的改變，而在形式運算思維階段，主要是能夠區分現實性與可能性，即能夠將內容和形式進行分離，可以離開具體事物，根據假設來進行邏輯推理和演繹.比如：在一個多變量影響的問題中，初中學生能夠成功分離出幾個變量，來研究單一變量對問題的影響，而具體運算階段的學生不能完成這個任務.教師可以要求學生對運算錯誤進行歸因和整理，引導學生逐一分離影響整個運算致錯的因素，使學生學會評估這個致錯因素在整個運算中起到的負面作用，并學會形成解決方案來避免類似錯誤的發生.

數學運算的過程及結果是一種數學思維及能力的綜合體現.教學中，教師應把握住運算類型及其本質，并與學生當前的思維發展層次有效結合.

綜上，教師可以對學生常出現的錯誤適當加強變式訓練;可以通過引導學生的糾錯行為，使其形成良好的運算的書面表達習慣;可以規范學生使用運算性質和運算律，并建立起良好的運算思維習慣;同時，可以讓學生學會在錯誤中歸因和反思，在問題解決策略的形成過程中提升運算能力.

【參考文獻】

[1]彭愛輝.初中數學教師錯誤分析能力研究[D]. 重慶：西南大學，2007.

[2]鞏子坤.有理數運算的理解水平及其教與學的策略研究 [D]. 重慶：西南大學，2006.