九宮格問題新解

雷金化 雷正斌

摘?要：九宮格問題源遠流長，其實質屬于數獨問題。常規解答方法往往不能給出解題的內在邏輯，文獻中的解答辦法一般又涉及比較高級的數學知識和比較多的抽象思維理解，因此這些方法對低年級學生都不太使用。筆者通過對九宮格和1-9九個數歸類分析的方法，巧妙地解決了這一經典問題，解題思路運用到的都是簡單的數學邏輯關系，適合低年級學生的學習。

關鍵詞：九宮格問題;歸類分析;低年級

九宮格問題源遠流長，其實質屬于數獨問題。筆者的孩子今年上小學一年級，近期在輔導孩子作業時又碰到這一經典問題。孩子數學老師給的解答方法雖然巧妙，但是不能給出解題的內在邏輯，因此孩子并不能真正理解而只能背答案。筆者通過查閱文獻找到了兩篇關于九宮格問題的解答文獻，分別是《利用不定方程求解九宮格填數問題》和《九宮格問題的探討》。[1-2]不過這兩篇文獻采用的解答方法涉及到未知數、甚至不定方程等高級的數學知識，涉及到比較多的抽象思維理解，因此都不適合低年級的學生。筆者雖然不是數學專業出身，但是對數學一直非常感興趣。因此，筆者試著自行對該問題進行解答，通過努力最終找到了一種適合低年級學生的巧妙解決辦法，下面將該解答方法詳述如下，供大家參考。

一、問題重述

請把1、2、3、4、5、6、7、8、9 這九個數填入九宮格中，使得九宮格中每一橫行、豎行、斜行的三個數之和都等于15。

二、解題思路

筆者的解題思路可以分為以下四個部分：

（1）九宮格歸類分析。（2）1-9九個數歸類分析。（3）數字和表格按類匹配。（4）數字歸位。

其實九宮格中需要填入的數非常簡單，都是10以內的數，加法也都是20以內的，小學一年級上學期就完全可以勝任了。然而難的是每一個格子或每個數相互區別又相互聯系，可以說牽一發而動全身。為了把問題簡化：筆者首先將九個格子和九個數先進行歸類分析，這是本解題思路的核心;分類之后的格子和數就可以進行按類匹配了;最后再通過簡單的嘗試就可以一一歸位了。

三、解題

（一）九宮格歸類分析

1.格子歸類

玩過三階魔方的人都知道，九宮格很像三階魔方中的一個面。仔細觀察不難發現，這九個格子可以分為三類：角塊、棱塊和中心塊。其中角塊有4塊，棱塊也有4塊，中心塊有1塊。為了方便敘述我們把角塊分別標記為A1、A2、A3和A4，棱塊分別標記為B1、B2、B3和B4，中心塊標記為C（如下圖所示）。

2.角塊、棱塊和中心塊的分析

九宮格分為三類后，我們再來分析這三類表格在參與計算時的區別。不難發現角塊、棱塊和中心塊參與計算的次數是有差異的，分述如下：A.角塊。我們以A1角塊為例，這一塊需要參與到橫行（A1、B1、A2），豎行（A1、B2、A3）和斜行（A1、C、A4）這三行的計算中，其他角塊也是類似的，因此每一個角塊參與了三次計算。B.棱塊。我們以B1為例，這一塊需要參與到橫行（A1、B1、A2）和豎行（B1、C、B4）這兩行的計算中，其他棱塊也是類似的，因此每一個棱塊參與了兩次計算。C.中心塊。中心塊只有一塊C，這一塊需要參與到橫行（B2、C、B3），豎行（B1、C、B4），斜行（A1、C、A4）和斜行（A2、C、A3）這四行的計算中，因此中心塊參與了四次計算。

3.分析結論

九宮格中九個格子分為三類：1）4個角塊，每個角塊參與三次計算;2）4個棱塊，每個棱塊參與兩次計算;3）1個中心塊，參與四次計算。

（二）1-9九個數歸類分析

盡管前面我們提到每個格子和每個數相互區別又相互聯系，牽一發而動全身，讓人解答起來很復雜。然而所有的數字不過9個，而且都非常簡單。我們不妨倒過來去思考，可以先通過枚舉法列舉出所有三個數字和為15的組合來，然后將這些組合再加以分類研究。筆者就是這么做的，為了更好理解，筆者這里按照參與數字1-9的順序進行了列舉，結果見下表。

仔細觀察上表我們不難發現，這九個數其實也可以分為三類：1）參與了兩次計算的數，分別為1、3、7和9;2）參與了三次計算的數，分別為2、4、6和8;3）參與了四次計算的數為5。

（三）數字和表格按類匹配

九宮格分析我們發現——九個格子可以分為三類：4個角塊，每個角塊計算三次;4個棱塊，每個棱塊計算兩次;一個中心塊，計算四次。九個數字分析我們發現——九個數也可以分為三類：參與兩次計算的數有4個，分別為1、3、7和9;參與三次計算的數有4個，分別為2、4、6和8;參與四次計算的數為5。經過簡單的對照我們不難發現，表格的分類和數字的分類完全類似且一一對應。我們就可以將表格和數字進行按類匹配了：經過四次計算的數5就是中心塊的數，經過兩次計算的數（1、3、7和9）就是棱塊的數，經過三次計算的數（2、4、6和8）就是角塊的數。

（四）數字歸位

經過第3步，我們已經將九宮格三類格子和三類數字做了按類匹配，接下來就可以動手填表格了。

（1）填中心塊5。在第3步中已經確認中心塊是5，因此將5填入中心塊C。

（2）填棱塊（1、3、7和9）。采用嘗試法進行棱塊的填寫，筆者這里選擇1（其他數字也是類似的）。由于迄今為止目標棱塊一個都沒有填，因此四個棱塊其實是一樣的，筆者這里把1填入棱塊B1。

填完1之后，可以通過簡單的計算得出B4塊應該填9。

填完1和9兩個數之后，棱塊還剩B2和B3，屬于棱塊的數剩下3和7。筆者這里選擇3進行下一步的填寫（選7也是類似的）。由于剩余的兩個棱塊是對稱的，因此將3填入B2還是B3是沒有區別的，筆者這里就將3填到棱塊B2。

填完3之后，剩下B3就只能填剩下的7了。

至此棱塊就填完了。

（3）填角塊（2、4、6和8）。填完棱塊繼續填角塊，依然可以采用嘗試法進行。這里筆者選擇2進行嘗試（其他數字也是類似的）。2的目標位置有4個，分別是A1、A2、A3和A4，由于中心塊和棱塊都已經填好，因此四個角塊都不一樣了，筆者這里嘗試將2填入A1（其他嘗試稍有差別，但都是類似的）。

將2填入A1后，我們把第一行（A1、B1、A2）經過簡單的計算，就可以推出A2應該等于12。我們知道12并不在我們要填的剩下三個數中。因此2填A1是不成立的，同樣的原因2也不能填A2。

將2填入A1后，我們把第一列（A1、B2、A3）經過簡單的計算，就可以推出A3應該等于10。我們知道10同樣不在我們要填的剩下三個數中。因此也可以證明2填A1是不成立的，同樣的原因2也不能填A3。

因此經過這一次嘗試事實上排除了2填入A1、A2和A3這三個角塊的可能性，所以2只能填入A4中。

將2填入A4中后，剩下三個角塊經過簡單的計算就可以一一歸位了，這里就不一一贅述了。

至此九宮格問題得到解決。

四、總結

本九宮格解題思路由于只涉及到低年級的數學知識，因此非常適合給低年級的學生講解。事實上筆者的這一解題思路也是在輔導一年級孩子作業實踐中得來的。盡管這一解題辦法相對步驟較多，但是該方法克服了一般巧解方法中無法理解的缺陷。學生通過該解題思路一方面可以更好地理解九宮格的內在規律，另一方面可以訓練低年級學生的邏輯思維能力，可以說是一舉兩得。文中涉及角塊、棱塊、中心塊符號在實際給孩子講解時可以用三種顏色進行替代，這樣學生會更容易理解。

參考文獻：

[1]郭柏壽.利用不定方程求解九宮格填數問題.數學學習與研究，2015，（19），90.

[2]趙立旺，胡冰瑤，汪勤.九宮格問題的探討.數學學習與研究，2012，（01），115.