等腰三角形有關(guān)問題的一點(diǎn)心得

劉春發(fā)　劉秀明

【摘要】等腰三角形是平面幾何學(xué)習(xí)的一個重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)容.平面幾何中的很多問題同等腰三角形有關(guān).本文主要講述同等腰三角形有關(guān)問題的解決方法.

【關(guān)鍵詞】等腰三角形;問題;解題方法

一、構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個等腰三角形

具體到解題的時候，可以先找好黃金點(diǎn)，然后以黃金點(diǎn)為頂點(diǎn)，另外再作出一個與原等腰三角形相似的三角形.

什么是黃金點(diǎn)呢？黃金點(diǎn)就是等腰三角形的頂點(diǎn).什么叫與原等腰三角形相似的三角形呢？原等腰三角形相似的三角形就是另作一個等腰三角形，使這個等腰三角形同原等腰三角形的頂角相同.

因?yàn)槠矫鎴D形是由點(diǎn)和線組成，我們在思考同等腰三角形相關(guān)問題時，抓住了黃金點(diǎn)，就找到了問題的切入點(diǎn).

例1 已知：如圖1所示，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求證：AD平分∠CDE.

圖1

圖2

解 如圖2所示，在CD上取點(diǎn)F，使得CF=BD，則可證△ABD≌△ACF，進(jìn)而可以構(gòu)造出△ABC和△ADF形成了有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰三角形.此題思考的切入點(diǎn)在以點(diǎn)A為頂點(diǎn)構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰三角形，點(diǎn)A為黃金點(diǎn).

例2 已知：如圖3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥BD，求證：∠BDC=45°.

圖3

圖4

提示 此題的黃金點(diǎn)為點(diǎn)C.此題的解題方向是如圖4所示的以點(diǎn)C為頂點(diǎn)構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰直角三角形.等腰直角三角形的題經(jīng)常可以考慮構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰直角三角形.

例3 如圖5所示，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°，∠CDB=30°.求證：△ABC是等邊三角形.

圖5

圖6

提示 此題的黃金點(diǎn)為點(diǎn)B.此題的解題方向是如圖6所示的以點(diǎn)B為頂點(diǎn)構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等邊三角形.等邊三角形的題經(jīng)常可以考慮構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等邊三角形.

二、利用黃金點(diǎn)、黃金線、黃金垂的思路來解決同等腰直角三角形有關(guān)的問題

黃金點(diǎn)、黃金線、黃金垂是在解決等腰直角三角形問題中的一個通法.黃金點(diǎn)就是指等腰直角三角形的頂點(diǎn)，黃金線就是指過等腰直角三角形的頂點(diǎn)非直角邊的任一直線，黃金垂是指過等腰直角三角形的頂點(diǎn)向黃金線所作的垂線.

例4 如圖7所示，四邊形ABCE中，AB=BC，AB⊥BC，CE⊥AE，BD⊥AE于D，求證：BD-CE=AD.

圖7

圖8

分析 此題的黃金點(diǎn)就是點(diǎn)B，黃金線就是BD，黃金垂就是AD，CF.此題如果將黃金垂作出來（如圖8所示），就變得很容易了.

例5 如圖9所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D為BC上一點(diǎn)，過D作DE⊥AD，且DE=AD，連BE，求∠DBE的度數(shù).

圖9

分析 此題的黃金點(diǎn)就是點(diǎn)D，黃金線就是BC，黃金垂就是AG，EF.此題如果將黃金垂作出來（如圖10所示），就找到解題的切入點(diǎn)了.

圖10

圖11

當(dāng)然，此題還有其他解法，比如，圖11以點(diǎn)D為頂點(diǎn)構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰直角三角形.

一般而言，等腰直角三角形問題有兩種思考途徑.途徑一，構(gòu)造有公共頂點(diǎn)的兩個相似的等腰直角三角形.途徑二，黃金點(diǎn)、黃金線、黃金垂的思路.

三、遇45°角構(gòu)等腰直角三角形

出現(xiàn)一個45°角（圖12），一般有4種構(gòu)造等腰直角三角形的方法.如圖13、圖14、圖15、圖16所示.

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

上面這4種構(gòu)造等腰直角三角形的方法，有一個共同特點(diǎn)，那就是作垂線.這種作垂線的思考方法可以稱為是45°角的黃金垂.不過在構(gòu)等腰直角時，有時可以構(gòu)造小的等腰直角三角形，有時需要構(gòu)造大的等腰直角三角形.

例6 如圖17所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)E為△ABC外一點(diǎn)，且∠CEB=45°，求證：AE⊥BE.

圖17

圖18

分析 此題的解題突破口就是以45°角構(gòu)造一個小的等腰直角三角形（如圖18所示）.

例7 如圖19所示，直線l交x軸、y軸分別于A，B兩點(diǎn)，A（4，0），B（0，4），C是線段AB上一點(diǎn)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，P是y軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足∠OCP=45°，求P點(diǎn)坐標(biāo).

圖19

圖20

分析 此題的解題關(guān)鍵點(diǎn)就是以45°角構(gòu)造一個大的等腰直角三角形（如圖20所示）.

四、遇60°角構(gòu)等邊三角形

出現(xiàn)一個60°角（圖21），一般有2種構(gòu)造等邊三角形的方法.如圖22、圖23所示.

圖21

圖22

圖23

上面2種構(gòu)造等邊三角形的方法，有一個共同特點(diǎn)，那就是作60°角.不過在構(gòu)等邊三角形時，有時可以構(gòu)造小的等邊三角形，有時需要構(gòu)造大的邊三角形.

例8 如圖24所示，已知點(diǎn)D為等腰直角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠CAD=∠CBD=15°.E為AD延長線上的一點(diǎn)，且CE=CA，求證：AD+CD=DE.

圖24

圖25

分析 此題的解題關(guān)鍵點(diǎn)就是先求出∠EDC=60°，然后以60°角構(gòu)造一個小的等邊三角形（如圖25所示）.

例9 如圖26所示，D，E分別為等邊△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AD=BE=13AC，AE與CD交于點(diǎn)P.求證：BP⊥CD.

圖26

圖27

分析 此題的解題關(guān)鍵點(diǎn)就是先求出∠APD=60°，然后以∠APD構(gòu)造一個大的等邊△APE，再由面積關(guān)系推出BE=2EP，還可以分析出∠PEB=60°，再以∠PEB構(gòu)造一個大的等邊△EFB（如圖27所示）.