巧析公式邏輯聯系化解圖形解題難關

張益

【摘要】小學數學中，長方形、平行四邊形、三角形、梯形等，對它們之間的關系進行分析，做出面積關系是相等或幾倍，高或底之間是幾倍（幾分之幾）關系，這對小學生有一定的難度，通過閱讀張奠宙教授的有關教學理論，利用數學公式網絡化特征，分析它們的內置邏輯聯系，就能化解其中的難點了.

【關鍵詞】數學;公式;特征

“數學課程中的數學公式常常以群組的面貌出現，針對某個概念或者某種操作先推導出一個公式，然后逐步深化、拓廣，最后得到一組公式，形成一個公式群.”這些公式之間的關系，通過透徹分析，能夠反映它們之間的邏輯關系，能夠有一個高屋建瓴的認識，可謂“一覽眾山小”的感悟.

蘇教版五年級上冊有關平面圖形的面積計算公式是這樣安排的，在已經學過的長方形和正方形面積的基礎上，安排平行四邊形、三角形、梯形的面積公式的推導，把平行四邊形轉化成長方形得出公式為S=ah，然后把三角形轉化成平行四邊形得出公式為S=ah÷2，最后把梯形轉化成平行四邊形得出公式S=（a+b）h÷2，學生通過自己探究能掌握它們與平行四邊形的底和高之間的關系，但是還是有部分學生對它們的掌握有一定的難度，而在利用它們之間的聯系到作圖中，卻使不少學生遇到了困難，怎么才能化解這個難點呢？

筆者也感到苦惱，怎樣才能讓學生根據給出的圖形，作出與它面積相等或幾倍（幾分之幾）的其他圖形呢，筆者也絞盡腦汁，經過筆者的思考和分析，一次筆者突然發現能否把長方形（正方形）、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式聯系到一起來想呢，長方形的長、寬、高，平行四邊形的底、高，三角形的底、高，梯形的底、高分別看成與梯形的上底、下底和高呢？通過計算還真行，于是筆者就把它利用在作圖中，筆者驚喜地發現這個方法還真管用，班上的學生在這個難點上有了突破，筆者有點小小的激動.

筆者沒有滿足于此，而是思考它們之間是否有數學理論的支撐呢，于是就找來了張奠宙教授等主編的《數學課程與教學論新編》來閱讀才恍然大悟，數學公式之間運用動態的觀點考查我們學過的平面圖形公式，形成清晰的公式網絡，分析它們之間的是派生關系、相關并列關系還是總括關系，對這些公式有個總體的認識，認識它們之間的邏輯聯系，那對我們平時教學起到相當重要的幫助，考慮問題會高屋建瓴，更好地為教學服務.

筆者原來認為小聰明做法，其實只是把這些公式的內在聯系總括了一下，長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式都可以概括為S=（a+b）h÷2.

觀察上面的圖形，會發現長方形的長、平行四邊形的底、三角形的上底變為0、梯形的上底都是一樣特征，下底也具有一樣的特征，也就是它們都與梯形特征類似，所以它的公式都適用其他的幾個圖形.它們實質上有內在的邏輯聯系，充分閱讀數學理論，分析它們的邏輯關系，對筆者的教學有很大的幫助.

掌握了上面幾種平面圖形公式的特征，那么對面積相等，幾種圖形中等底，它們的高是什么的關系，高相等它們的底又是怎樣的關系，就會迎刃而解.對面積之間是幾倍（幾分之幾），高或者底之間又是什么的關系，通過通用公式公式S=（a+b）h÷2，對不同圖形的面積計算都能得到很好的解決.

例如，一個三角形的面積是16平方厘米，底是8厘米，作出與它面積相等的平行四邊形和梯形.我們可以根據幾個平面圖形面積的通用公式思考，三角形的上底是0 cm，下底是8 cm，得出高是4 cm，那么平行四邊形的上下兩底的和是16 cm，高只能是2 cm，如果高與三角形的高相等，那么上、下底的和只能是8 cm，而平行四邊形的上、下底是相等的，那么它的底就是4 cm，它的面積才能與三角形面積相等;而梯形的上、下底的和是8 cm，高與三角形相等，它的面積就與三角形相等了.

如果已知一個平行四邊形的面積是32平方厘米，作出一個與它等底（高）面積相等的三角形、梯形，通過分析通用公式，利用它們的內在邏輯聯系，也能很快分析出它們的高（底）與平行四邊形是什么關系.至于更難一些作出圖形的面積與已知圖形面積之間是幾分之幾關系的，通過公式也能很順利地得出要作的圖形與已知圖形高（底）是幾分之幾的關系.

了解了這個公式網絡，明白了內在的邏輯聯系，于是再回過頭來想想教材中的有關幾個平面圖形的作圖問題，也就迎刃而解了.在以后的教學中筆者對此有了深刻的理解，在教的時候就更加的得心應手了.

通過這個問題的思考，筆者認為我們教師必須閱讀大量的教育教學理論書籍，才能夠站到一定的高度去看問題，才會理解知識之間的網絡，才會有一覽眾山小的眼光，為今后的教育教學走得更高打下堅實的基礎.

其實，我們數學教師需要閱讀一些數學史，了解數學發展的歷程，以及數學發展的方向，閱讀一些數學教學理論，對我們平時教學方法、教學思維、教學視野的開闊有很大的幫助.