以“波利亞怎樣解題”探索數學思維的形成

鄧麗雯

摘 要：數學解題能力是數學學習的核心能力之一，而數學思維是數學學習的翅膀。解直角三角形是與生活密不可分的應用，又是中考的熱點。本文通過以解直角三角形的案例來剖析波利亞的《怎樣解題表》，從四個階段層層遞進，幫助學生養成數學解題思維，并為教師在授課過程中如何就學生學會高效解題思路指明方向，并提出相關建議。

關鍵詞：波利亞解題表; 銳角三角函數; 解題能力; 數學思維

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2019）06-027-001

波利亞的《怎樣解題表》給予了人類在數學方面的學習以全新的思路和明確的方向，他的《怎樣解題表》并不關注于答案的本身，而是著重突出題解思維。解題表的四步驟：理解題目，擬定方案，執行方案，回顧。對于一道數學題，首先重點在于認真審題，熟悉題目，將題目的條件、已知量、未知量逐個分離，轉化成簡潔明了的語言印入腦海。而擬定方案則是難點，不但要求厘清各知識點之間的聯系以及內在邏輯。有時需要從過去出現過類似的題目來找到方向或是各種轉換、修改題目來獲得解題思路。執行方案則稍顯簡單，根據方案的程序寫出細節，要仔細并快速作答。最后通過回顧，重新斟酌、審查結果及導出結果的途徑，體會數學題之間的聯系，他們能鞏固知識，并為下一次解題提供思路。

本文以九年級下人教版教材中的習題為例，該題難度一般，但具有典型性，主要是讓學生理解基本常識，基本概念-方位角，將實際問題轉化為數學問題，構建直角三角形，領悟其方法。

題目：如圖，海中有一個小島A，它周圍8nmile內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行12nmile到達D點，這時測得小島A在北偏東30°方向上。如果漁船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁的危險？

第一階段：理解題目：抓住題干主要內容

問題一：已知數據是什么？

北偏東60°、北偏東30°和BD的距離。這兩個角度是方位角，是從某點思維指北方向線起，依順時針方向到目標方向線之間的水平夾角，因此能在圖上標注角度。

問題二：未知量是什么？

A到BD的最短距離是否小于8海里。

教學目的：漁船是否有觸礁危險是以A為圓心，8海里為半徑的圓與BD的位置關系，將點與圓的位置關系和直線與圓的位置關系一起處理，學生對于添加輔助線AC更清晰A到BD的最短距離小于8海里，沒有觸礁危險，大于8海里就有觸礁危險，因此需要添加輔助線，判斷輔助線的長度即可。

第二階段：擬定方案：把握題目內在邏輯關系，并回憶相同的解題技巧

問題三：是否存在其他需要轉化成解題所需內容的條件？

除了△ABC是直角三角形，還有△ADC是直角三角形。

問題四：能不能由過去的方法直接求AC？

已知BD和∠ABD但是BC的長度未知，不能在△ABC求出AC。

問題五：過去有沒有遇到類似的題目？

已知直角三角形的一個角和一條邊求另一條邊。

這道題已知直角三角形的一個角，而直角三角形除直角外的五個元素若已知其中兩個，就能求得其余三個。

教學目的：在直角三角形中知道一條邊一個角就能得到其他元素，由于AD又在△ABD中，且∠BDA由條件可以知道，從而能獲得AD和∠ADC的大小。

第三階段：執行方案：心中有數，快速作答

解：過A點作BD邊上的垂線于點C

以A為半徑做圓，圓與BC相切是最小距離為半徑

∵∠ABD=30°

通過方位角北偏東60°得知

∠BDA=120°

通過方位角北偏東60°得知

∴∠BAD=30°

由三角形的內角和180°

∴BD=AD=12

由于等角對等邊

又∵在△ADC中，∠ADC=60°

∠ABD和∠ADC組成平角，平角為180°

∴AC=AC·sin60°=6[3]<8

在直角三角形中，已知一條斜邊和一個角可以得到該角的對邊，因此如果漁船不改變航線繼續向東航行，沒有觸礁的危險。

第四階段：回顧：總結分析，轉化歸納，舉一反三

問題六：是否存在其他解法？

這道題最后的解題方法不是唯一的，找對各個角和邊的大小，添加輔助線構建直角三角形，通過邊角關系，找到所求長度。

問題七：該題解法如何運用于別題？

無論是測量建筑、航海航天、水利工程等，解答這類問題主要是轉化為解三角形問題，轉化為求解三角形元素問題，做出必要的輔助線來解決，這類問題的關鍵是構造直角三角形。

建議

數學教學本該是教師組織學生拓展數學思維的活動，目的在于建構和深化學生的認知，然而以此制定的題海戰術卻讓學生更像是一個做拋球游戲的小丑，應接不暇地接住老師拋來的題。學生自然也就失去了思考的時間，無法體會題目本身的意義，更難以融會貫通，舉一反三。波利亞《怎樣解題》中提出了解題過程中的重要問題，是鍛煉數學思維，從而提高解題能力，并啟發教師應該拋出能讓學生思考的問題，止步于題海。讓學生在做題的過程中感悟數學題之間的聯系，在腦海中思考類似的題，深化解題思維的形成。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M]涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社， 2011.11

[2]林燕群.怎樣解題表在解題中的應用[J]北京：教育觀察， 2018