淺談反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

吳長(zhǎng)偉

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)教學(xué) ?反例 ?應(yīng)用

反例，顧名思義，就是刻意變換事物的本質(zhì)屬性，從事物的反面突出事物的性質(zhì)的例子。在邏輯學(xué)中，反例是相對(duì)于某個(gè)全稱命題而言的。而在數(shù)學(xué)中，反例是指使某個(gè)命題不成立的例子，它是對(duì)命題而言的。反例在發(fā)現(xiàn)和認(rèn)知數(shù)學(xué)真理，強(qiáng)化數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理解和掌握，以及培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造性技能起著不可低估的意義和作用。

一、反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)中所謂的反例就是教師在教學(xué)過(guò)程中針對(duì)某一教學(xué)知識(shí)點(diǎn)而列舉出一個(gè)符合題干而不符合命題結(jié)論的特例。這一特例，能夠很好地從事物的反面突出事物的屬性。因此，反例在數(shù)學(xué)教學(xué)的很多方面都有應(yīng)用。

（1）反例在學(xué)生理解定理和性質(zhì)中的應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理或性質(zhì)時(shí)，往往出現(xiàn)混淆或者忽略一些關(guān)鍵性詞語(yǔ)，為了克服這種現(xiàn)象，教師可以適的當(dāng)引入反例，幫助學(xué)生進(jìn)行記憶，從而達(dá)到掌握定理和性質(zhì)的目的。

學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新的定理或性質(zhì)時(shí)，往往是在關(guān)鍵詞上出現(xiàn)忽略，從而出現(xiàn)解決問(wèn)題的錯(cuò)誤。為了克服這種現(xiàn)象，教師應(yīng)該知道如何在教學(xué)中構(gòu)造反例，幫助學(xué)生記憶關(guān)鍵詞，正確認(rèn)識(shí)和運(yùn)用定理與性質(zhì)。

（2）反例在學(xué)生理解公式和法則中的應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)公式、法則時(shí)，常常會(huì)忽略公式、法則的使用范圍，生搬硬套，造成方枘圓鑿的局面。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要向?qū)W生講清楚公式和法則的使用范圍，還要列舉一些反例來(lái)加深理解，使學(xué)生正確掌握公式和法則。例如，在必修5第三章學(xué)習(xí)不等式性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)判斷題，例如“當(dāng)ab﹤0那么a+b﹤0，”很多同學(xué)認(rèn)為這是正確的，但實(shí)則不然。這時(shí)教師可以舉這樣一個(gè)例子：設(shè)a=2，b=-1，則a·b=-2﹤0，而a+b=1﹥0，而來(lái)否決這一錯(cuò)誤命題，再次加深學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)運(yùn)算的理解。

由此反例，學(xué)生能夠認(rèn)清在實(shí)際解題中必須嚴(yán)格按照公式和法則進(jìn)行解題，而不能憑主觀判斷進(jìn)行解題，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解如何正確運(yùn)用公式和法則。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)列舉反例可以加深學(xué)生對(duì)公式、法則的理解，并注意適用范圍，使用條件，達(dá)到一舉兩得的目的。

（3）反例在增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、糾正錯(cuò)誤的觀念中的應(yīng)用。面對(duì)學(xué)生解題中所出現(xiàn)的共性錯(cuò)誤，教師不要想著盡快于點(diǎn)破錯(cuò)誤的所在，而應(yīng)示以反例，用反例說(shuō)明解法有誤。通過(guò)反例，讓學(xué)生自己探究、討論并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析錯(cuò)誤原因，找出正確的解題方法。從而培養(yǎng)學(xué)生追尋問(wèn)題錯(cuò)誤的根源的習(xí)慣，并指導(dǎo)學(xué)生糾正錯(cuò)誤，最終讓師生共同品嘗成功的欣喜，達(dá)到師生雙贏的目的。

二、運(yùn)用反例應(yīng)該注意的問(wèn)題

在數(shù)學(xué)的教學(xué)中教師恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用反例，既能調(diào)動(dòng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真對(duì)待問(wèn)題的習(xí)慣，還能培養(yǎng)學(xué)生的批判思維、逆向思維和創(chuàng)新思維。但在數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，反例的使用應(yīng)該要注意以下問(wèn)題：

（1）從定義入手獲得反例。概念是數(shù)學(xué)學(xué)科是反映事物本質(zhì)的思維形式，而定義是則明確概念的邏輯方法。在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，若首先給出一個(gè)概念的定義，然后用反例判斷其是否正確，和證明一樣，必須經(jīng)過(guò)一系列的深層次的思考活動(dòng)，從定義入手獲得反例，反例是不能憑空創(chuàng)造的。

（2）要注意主次關(guān)系。學(xué)習(xí)概念、定理和方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的主要任務(wù)，對(duì)于基本命題和結(jié)論應(yīng)該被嚴(yán)格證明和推導(dǎo)。但舉反例應(yīng)簡(jiǎn)潔，重在明辨是非，因此我們對(duì)反例的掌握要求不能太高，緊緊圍繞學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容進(jìn)行有效輔助即可。

（3）所舉反例要注意符合學(xué)生的實(shí)際。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生一般不會(huì)出錯(cuò)，或者只有極個(gè)別學(xué)生出錯(cuò)的不必列舉反例。不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，不同的情況下，對(duì)反例有著不同的要求，只有當(dāng)反例符合實(shí)際情況時(shí)，反例才會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮真正的作用。

總之，數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，它有著自己獨(dú)特的思考方式和邏輯推理體系，而在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，反例與證明有著同等重要的地位。反例因其直接、簡(jiǎn)便、形象、說(shuō)服性強(qiáng)等特點(diǎn)，決定了它在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著不可替代的作用。教師有責(zé)任有義務(wù)去教會(huì)學(xué)生運(yùn)用反例，這樣不僅講課時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)反例扎實(shí)的掌握比較抽象的概念、公式、定理、法則等，同樣，在數(shù)學(xué)考試中運(yùn)用舉反例來(lái)解決選擇題中的一些題目，也會(huì)收到事半功倍的效果。