2018年沈陽市中老數(shù)學試卷第25題解析

代麗宅

摘要：文章詳細分析了沈陽市中考數(shù)學試卷第25題，明確指出其考查的知識點和運用的思想方法，旨在提升學生對壓軸題的解題能力。

關鍵詞：試題分析;解題策略;解題能力

中考是學生參加的第一次具有選拔功能的考試尤其是中考壓軸題，更是具有選拔作用。下面，筆者對2018年沈陽市中考數(shù)學第25題給予分析與解答。

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y= ax+bx-1經(jīng)過點A（-2，1）和點B（-l，-1），拋物線C2：y=2x +x+1.動直線x=t與拋物線Ci交于點N，與拋物線C2交于點M。

（1）求拋物線C1的表達式;

（2）直接用含t的代數(shù)式表示線段MN的長;

（3）當△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值;

（4）在（3）的條件下，設拋物線C.與y軸交于點P，點M在y軸右側(cè)的拋物線C2上，連接AM交y軸于點K，連接KN，在平面內(nèi)有一點Q，連接KQ和QN，當KQ =1且∠KNQ= ∠BNP時，試直接寫出點Q的坐標。

二、試題分析

沈陽市中考數(shù)學試題易、中、難的比例為7：2：1。2018年沈陽市中考數(shù)學第25題中考查的知識點有列代數(shù)式、解二元一次方程組、解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程、求二次函數(shù)的解析式、坐標與圖形位置關系、等腰直角三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)和圖形的變換、圓的定義。應用的數(shù)學思想有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。考查的數(shù)學核心素養(yǎng)包括符號意識、運算能力、數(shù)感、空間觀念、幾何直觀和推理能力。

第（1）小題——用待定系數(shù)法，通過解二元一次方程組求解，運用的是方程思想。

第（2）小題——用點的坐標表示豎直方向上兩點的距離，運用的是數(shù)形結(jié)合思想。

第（3）小題——盡管題中給出了直角邊MN，但是仍要分兩種情況討論，再分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和水平方向上兩點的坐標關系列出含t的方程，進而通過解一元二次方程求解。遇到動態(tài)問題，就要注意不同位置要考慮周全，在教學中培養(yǎng)學生運動變化的觀點，才是避免漏解的關鍵。

第（4）小題——進一步以運動變化的視角想出所有合理的情形，盡量準確地畫出圖形，這不僅考查學生的思維嚴密性，對學生的空間想象能力、動手操作能力、邏輯思維能力和分類討論能力的要求也很高。接著，還要結(jié)合所畫圖形，找到恰當?shù)闹贮c，再結(jié)合適當?shù)姆椒ㄈデ蠼猓@對學生綜合運用知識的能力、分析問題和解決問題的能力的要求都很高。因此，此題充分體現(xiàn)了“壓軸”的作用。

按照慣例，沈陽市中考壓軸題的后面幾道小題都要求“直接寫出”結(jié)果，而大多數(shù)問題的結(jié)果也并不繁雜，因此準確作圖、大膽猜想，往往就會有意外的收獲。下面，筆者展示幾名學生的解題思路，如圖2～5所示。

當然，僅觀察表面是不能解決全部問題的，關鍵是要挖掘圖中特殊的數(shù)量關系和位置關系。例如，此題中的Q3，Q4與Q1，Q2就是兩兩對稱的，只需求出其中一對點，另一對點用求對稱點的方法即可求出，這樣就利用轉(zhuǎn)化與化歸思想把問題分解了。

那么，接下來先求Q1，Q2，還是先求Q3，Q4呢？其實，直接求哪個點都能求出來，但是位置不規(guī)則時不好求解。因此，在有限的考試時間內(nèi)，在兼顧答整張試卷的前提下，能順利解決這類代數(shù)、幾何綜合題的唯一法寶，一定是從特殊的數(shù)量關系和位置關系人手。要么利用所發(fā)現(xiàn)的全等三角形（如圖3和圖4），要么利用所看出的軸對稱（如圖5），將這道綜合題進一步破解為分散的、基本的知識點，接下來再進行幾何推理或代數(shù)運算。

綜上所述，學生的基礎知識要學牢，運算、作圖等基本技能要過關，書寫過程要規(guī)范，這樣才能在壓軸題上“保（1）、爭（2）、破解（3）”;勤練習的同時要多思考，學會分析、形成方法最重要，準確作圖、合理猜想找特殊，這樣才能在錯綜復雜的第（4）小題中找出解題思路。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定，義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]劉家良，在觀察與聯(lián)想中進行整體建構(gòu)：2017年天津市中考試卷第25題評析有感[J].中國數(shù)學教育（初中版），2018 （10）.