淺議通過揭示問題表征提高學生的問題解決能力

肖華鳳

摘 要：培養學生解決問題的能力對學生的終身發展有重要的意義。美國現代認知心理學家西蒙認為：“表征是問題解決的一個中心環節。問題解決者必須準確地表征問題，因為對問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度。”數學教師肩負著培養學生解決問題能力的責任，若在日常的教學中，能引導學生不斷梳理、總結自己的思考過程，并通過畫圖、列式、構造模型等方式，豐富問題表征，將能有效幫助學生提高思維能力，形成較好的問題解決能力。

關鍵詞：初中;數學教學;問題表征;問題解決能力

中考壓軸題的問題比較新，綜合性很強，對學生解決問題的能力提出了較高的要求。數學教師該如何幫助學生攻克難關，提高問題解決的能力呢？

一、分析學生的解題思路，弄清問題表征

引例：（引自2014年廣州市初中數學畢業生學業考試中的壓軸題第25題）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，點E為線段CD上一動點（不與點C重合），△BCE關于BE的軸對稱圖形為△BFE，連接CF，設CE=x，△BCF的面積為S1，△CEF的面積為S2。當△BFE的外接圓與AD相切時，求■的值。

有學生通過等面積法來解答，某學生在畫圓G的過程中，發現點G為BE的中點，接著將半徑GQ=GE=■聯系起來。而GE又與EC=x通過勾股定理建立聯系。也有學生采用構造法來解答，對相似的知識印象比較深刻，因此由切線會聯想到Rt△、相似三角形等知識，進而尋找兩個相似的Rt△。這兩種解法，學生都經過反復多次的觀察，嘗試各種思路，篩選方法，最后得出了此法。

在教學中，有時教師會忽略學生的這些思考過程，只關注他們成功解答的思路。其實每個學生因知識結構、經驗等不同，對問題的表征不盡相同，但不同的表征，往往有不同的解決方案。若能將積極思考的學生的問題表征展現出來，師生之間進行交流，彼此將會激發出更多的靈感。在相互學習借鑒中，將問題表征豐富、深化，那么，學生的問題解決能力將會不斷得到提高。

二、問題表征分類

數學問題解決就是學生主體創造性地應用數學去解決問題的學習活動。我國把提高學生解決問題的能力作為數學教學的主要目標之一。美國現代認知心理學家西蒙認為：“表征是問題解決的一個中心環節。它說明問題在頭腦里是如何呈現和表現出來的。”要想問題得以解決，問題解決者必須準確地表征問題。因為對問題的表征如何，極大地影響著問題解決的難易程度。問題的表征有兩種方式：內部表征（或心理表征）和外部表征。外部表征即把問題用圖形、表格、模型等外部的形式表示出來。借助外部表征，有利于問題的解決。問題解決者確定以什么策略來解決問題，一方面取決于他自身相關的知識和經驗，另一方面取決于他如何表征問題。對問題的表征不同，所選擇的解決方法也不同。

三、數學問題不同表征的典型案例

學生將問題內外表征展示出來，將有助于師生的深入交流，有利于學生在相互學習中提高問題解決的能力。

案例一：嚴謹性與靈活性相結合的案例

例一（引自2011年廣州市初中數學畢業生學業考試第23題）：已知Rt△ABC的斜邊AB在平面直角坐標系的x軸上，點C（1，3）在反比例函數y=■的圖象上，且sin∠BAC=■。

（1）求k的值和邊AC的長;（2）求點B的坐標。

案例分析：

1. 圖示（兩種情形，見圖一、圖二）。

思路一：解第（2）問，可以由已知sin∠BAC=■出發，根據sin的意義，用比例和勾股定理來計算。思維直接，很容易想到，但非常繁瑣，計算時間較長。

思路二：解第（2）問，可以由sin∠BAC=■換函數名，用tan∠BAC=tan∠BCD=■或cos∠BAC=■，求得BD=■，此時求點B的坐標，只需要用BD±1即可，即OB=■+1或者BO=-（■-1）。不需要再分成兩小題逐步重復計算。

2. 問題表征分析：（1）畫圖使解題更嚴謹。此問題沒有圖，通過審題畫圖，一部分思維嚴謹的學生將會發現A、B兩點的不確定性，進而發現問題的兩種可能。（2）好的問題空間使解題更靈活。問題空間比較好的學生，靈活地變換函數名，用tan來計算，計算更簡便。（3）綜合歸納能力強的學生，進一步發現，求點B的坐標，只需要用BD±1即可。教學中著重引導和展現不同思維層次學生的問題表征過程，學生將從中獲益匪淺。

案例二：發揮個人強項的案例

例二（引自2013年廣州市初中數學畢業生學業考試第10題）：如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分線，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求tanB的值。

案例分析：

方法一：（見圖一）

（1）主要運用菱形的性質。

（2）解答思路：過A作AE∥DC交BC于點E，連接DE，交AC于點O，先證AECD為菱形，得DE⊥AC，再求BC=12，AC=8■，從而tanB=2■。

（3）問題表征分析：①自身優勢經驗（對菱形的知識比較擅長）。②構造模型（構造出菱形）。③知識綜合（菱形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、tan的概念等）。

方法二：（見圖二）

（1）主要運用三線合一。

（2）解答思路：過D作DO⊥AC，垂足為O，△ADC為等腰三角形，利用三線合一，O為AC中點。△DOC∽△BAC，得比例式，求得DO=2，AO=4■，且tanB=tan∠ADO=2■。

（3）問題表征分析：①自身優勢經驗（對三線合一的知識比較擅長）。②構造模型（作出等腰三角形的高）。③知識綜合（等腰三角形的三線合一、三角形相似列比例式、求三角函數換等角等）。

方法三：（見圖三）

（1）主要運用平行四邊形性質。

（2）解答思路：過D作DE∥AB，交BC于點E，得ABED為平行四邊形，由AB⊥AC，得DE⊥AC，由△ADC為等腰三角形，三線合一，得O為AC中點，OE為△ABC的中位線，從而有OE=OD=2，AO=4■，tanB=tan∠ADE=2■。

（3）問題表征分析：①自身優勢經驗（對平行四邊形的知識比較擅長）。②構造模型（構造平行四邊形）。③知識綜合（平行四邊形、等腰三角形的三線合一、中位線、求三角函數換等角等）。

四、培養學生問題表征能力的途徑

學生要具備很好的解決問題的能力，首先要有扎實的數學基礎和數學探索熱情。其次，在教學中，教師要重視不同學生的問題表征。課堂或課后，如果學生都樂于展示問題表征的話，將能大大提高學生解決問題的能力。教師可以從以下幾個方面有計劃地培養學生問題表征的能力：

首先，精心備課。選題、教學時，教師要做好示范，遇到問題從多角度思考。其次，從日常滲透，為學生提供展示自己的機會。無論問題大小，不一定要用壓軸題、綜合題去培養學生問題表征的能力，而應在平常的教學中長期去滲透培養。第三，豐富學生的問題表征。特別是對綜合性較強的解題任務，要更加重視學生問題表征的教學。此外，在教學中，教師要注重對學生進行以下方面的培養：1. 相對思維的運用。2. 數形結合思想。3. 培養學生歸納、整理、提升的能力。4. 思維嚴謹性與靈活性的培養。5. 相近知識的聯想。6. 善于運用實際生活經驗。7. 加強知識的綜合運用，發揮個人的強項。8. 重視對構造法問題表征的教學。9. 數學興趣的培養等。

五、結語

綜上所述，教師應通過多種渠道給學生充分展示問題表征的機會，加強課堂、課后深入和有效交流，以此來提高學生解決問題的能力。特別是在數學教學內容上，遇到數學思想、方法方面的問題，如有關相對的思維、數形結合、思維的嚴謹性和靈活性、相近知識的聯想、實際生活經驗、各個知識的綜合運用、構造法等綜合性強的問題時，要特別給學生充分暴露問題表征的機會。這樣能很好地培養學生的分析、綜合、想象等能力，活躍學生的思維，提高學生解決問題的能力，增強學生挑戰難題的自信心，進而使課堂教學效率得到提升。但由于課堂的時間有限，操作起來有一定的難度，特別是初三的壓軸題，一道題的透徹講解往往需要較長的時間。因此，壓軸問題的詳細問題表征分析往往在初三的培優課專題課中運用較多。日常的教學滲透很重要，但是壓軸題的教學難以做到讓學生很充分地去分析問題的表征過程。這將是筆者今后要繼續思考的方向。