淺談高等數學中的反證法

張瑩

摘要：反證法在數學中是一種非常重要的間接證明方法，它被稱為“數學家最精良的武器之一”，又稱為歸謬法、背理法。反證法亦稱“逆證”。其不僅是一種論證方法，對提升學生創新性思維能力與概念思維能力具有積極作用，從某種角度可以說，反證法還是一種思維方式，其還能拓展學生的解題思路，從而使學生形成良好的數學思維。反證法在中學數學中有著廣泛的應用，如今學生在運用反證法解題中，基礎一般的學生會受到思維能力的限制，如果能恰當的使用反證法，在一些有難度的題目上也許能夠得到解決。所以本文首先會敘述反證法的產生，具體闡述反證法的定義，即反證法的概念、分類、科學性，介紹逆證在中學數學中的實際運用并論述了逆證應用的具體需要注意的一些問題。

關鍵詞：反證法;中學數學;應用;

1?引言

反證法是間接論證的方法之一，亦稱“逆證”、矛盾證法。它在中學數學中有著不可替代的重要作用，一般來說，當學生遇到不容易或者不能從正面進行證明的題目時，則可以嘗試運用反證法進行證明。反證法彌補了直接證明的不足，完善了證明方法，運用反證法可以培養和提高學生的逆向思維能力和創造思維能力，把不可能轉化為可能。教師應要結合熟悉的生活實例和典型的數學例題，幫助并引導學生了解反證法繼而使用反證法，然后運用反證法拓寬學生解決問題的思路。

2?反證法的產生

2.1古希臘的反證法

在南意大利學派的影響下，其主張“一切事物都是整數”，數學知識是可靠和準確的。但隨著第一次數學危機的發生，自根號二的發現，使希臘人重新審視了他們自己的數學，從此他們對以數作為基礎的幾何做了舍棄的選擇。首次的數學發展遇到的暫時困難，使其沒有辦法只信靠直觀與圖形，所以，西方為代表的數學須以證明為主來證明數學。而他們要的是準確性的數學。它以演繹、邏輯為表現的形式?？梢酝茢嗥湟庵杆愕臄祵W與證明的數學恰恰不同。希臘人認為數值計算是幾何證明之后的一個應用，他們更注重演繹與證明，指出“不要近似”，也就是要達到“明確的形式證明和公理的使用”[1] 。

2.2?中國古代數學中的反證法

對推理演繹的證明，在我國的古代數學領域缺少重視，盡管人們發現一些邏輯規律，例如在魏晉時期的雄辯之風，大多數的反駁用到了歸謬法，這里的歸謬法就是舉反例，劉徽受當時的影響，在他的《九章算術注》中，歸謬論證法被多次使用，劉徽在證明某些公式是錯誤的時候，用的方法都是反駁，并且是成功的，符合邏輯規律的。墨家學派創始人也曾利用反證法，比如違反矛盾律的謬誤：“學之益也，說在誹者?！?。利用“學習無益”不是真的證明，得出“學習有益”是真命題。歸謬法也是反證法中的一種方法，但因為中國邏輯學的不完善，在指出明確運用反證法的用法上是少之又少，與西方差別甚大。

3?反證法在中學數學中的應用

這類命題用直接證明是有一定難度的或者說結論的反面比結論本身更容易證明，因為已知條件以及由已知條件推出的結論比較少，在這種題目中能夠運用的定理、定義、公理也比較少，此時我們會選擇用反證法來進行證明[4] 。

已知：

求證：

證明：假設與不平行，

則AB與CD相交于點P

，即、即，

過點有2條不一樣的直線同平行，然而此矛盾于幾何學的重要公理之一——平行公理，所以，假定與不平行不成立.

故.

【分析】讓學生知道這種類型題是不能直接證明的，這要從問題的反面出發，否定命題結論，即AB與CD不平行，那么它們肯定相交，交點為P，因為過點P就有兩條直線AB、CD都平行于EF，這顯然與平行公理矛盾，產生矛盾的原因是假設錯誤。所以AB與CD不相交，則只能平行，問題得證[5] 。

例1?平面與直線的交點為，在平面內，過點畫出直線、、，，那么是否正確，若正確，請求證。

證明：假若PO與平面不垂直。

畫且與平面有個交點H，這時O、H不重合，聯結OH。

過P點畫，垂足為E，垂足為F，

依據，立體幾何之三垂線定理得出，，。

由于，公共邊PO，

因此，

所以

又

所以

所以

因此，OH是的平分線。

同樣的方法，可以證明，的平分線是OH。

然而，OC與OB是2條不重合的直線，同時OH是和的平分線是不可能的，產生矛盾。

【分析】本道題若從正面進行證明，根據題目所給條件所能借助的公理定理有限，則只能嘗試從反面去思考，這道題由于不能直接證明，不妨先假設PO不垂直平面，以此為條件再結合相關定理得到與客觀事實不符合的結論，這說明假設“PO不垂直平面”錯誤，那么假設的反面就是正確的，即，故原命題結論成立。

4?總結

數學是一門非常能考驗人的思維邏輯的學科，我們認為反證法是一種數學思想，在數學證明里，反證法（逆證）是一種重要的解題方法。學會運用反證法，能鍛煉我們各方面的能力如觀察力、逆向思維能力、辨別能力、創造能力等，從而養成良好的學習習慣，這對我們學習其他數學知識有很大的幫助。

參考文獻：

[1] 嘉程程，李超峰.淺談反證法及應用[J].農家參謀，2019（15）：231.

[2] 田俊英.關于數學分析中適于用反證法證明的問題類型分析[J].景德鎮學院學報，2019，34（03）：21-25.

[3] 王璐.“反證法”的教學策略[J].初中數學教與學，2019（11）：1-3+18.

[4] 李群.高等代數解題中反證法實例研究[J].黑河學院學報，2019，10（01）：212-214.

[5] 劉愛琴.一個數學問題的反證法證明與推廣[J].中學數學教學參考，2018（33）：28-29.

[6] 雷紫同.淺談“反證法”在高中數學的應用[J].數學學習與研究，2018（18）：116.

（作者單位：無錫機電高等職業技術學校）