基于數學核心素養的探究式教學設計

朱蕾 黃旭

【摘 要】《普通高中數學課程標準（2017年版）》強調：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境啟發學生思考，引導學生把握數學內容本質。”本文以“函數零點存在性定理”的教學為例，探討如何在數學探究式教學中發展學生的數學思維，落實數學核心素養。

【關鍵詞】數學核心素養;數學探究式教學;零點存在性定理

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）34-0146-02

近年來，數學核心素養一直都是數學教育界的熱詞，數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析。數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程;數學邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程;數學建模是對現實問題進行抽象，用數學語言表達和解決實際問題的過程……不難發現，這六大核心素養都以數學思維為基礎。數學思維是數學核心素養最重要的部分，也是發展學生數學素養的根基所在。實質上，抓住了數學思維的培養本質，便抓住了培養數學核心素養的關鍵點[1]。教師應如何發展學生的數學思維？探究式教學為我們提供了參考。新課改以來，探究式教學逐漸被廣大教師和學生所接受，并對數學教學產生了深遠的影響。數學探究式教學是指學生在教師的引導下，圍繞教學內容，就某些數學概念、規則、問題，以探究形式學習新知識的過程。這個過程包括：設置情境、提出問題、思考、討論問題結論、給出解釋或證明。數學探究式教學強調讓學生經歷知識發生、發展的過程，使學生獲得數學知識背后的數學思想方法，促進學生的數學思維，從而提升數學核心素養。本文將以“函數的零點存在性定理”為例，探究如何將數學核心素養的培養融入數學探究教學中，以供參考。

1? ?基本情況分析

1.1? 教材分析

“函數零點存在性定理”選自人教A版高中數學《必修一》第三章第1節“方程的根與函數的零點”的內容。零點存在性定理給出了函數在某區間上存在零點的充分不必要條件。由于高中階段無法給出零點存在性定理的證明，因此，教學中要從具體函數和幾何直觀入手，充分利用一些特殊函數的圖像，給學生搭建“腳手架”，讓學生由特殊到一般，由具體到抽象，通過觀察比較、歸納推理，直觀感知存在零點的條件。零點存在性定理為方程的求解問題提供了新的出路，也為“二分法求方程近似解”奠定了理論基礎。

1.2? 教學目標

①理解零點存在性定理，能初步運用零點存在性定理確定具體函數存在零點的區間。②經歷由特殊到一般、由直觀到抽象的數學思維過程，體會數形結合、化歸與轉化思想，提升數學抽象、直觀想象和邏輯推理素養。③通過創設問題情境，激發學生的學習興趣，培養學生交流、合作的能力。

1.3? 教學重難點

重點：函數零點存在性定理的理解與應用。

難點：探究函數零點存在定理的條件。

2? ?教學過程

2.1? 問題提出

求解下列方程的根

生：方程（1）的根為，方程（2）的根為-3，1，最后一個方程不會解。

師：數學史上，人們一直希望得到一般的五次及以上代數方程的根式解，但經過長期的努力仍然沒有結果，直到1824年，挪威數學家阿貝爾才成功地證明了五次及以上的方程是沒有公式解的。那么這個五次方程是否有根呢？

師：我們可以去研究它所對應的函數是否有零點。一個函數滿足什么條件就可以確定有零點存在呢？

設計意圖：在本節課的導入部分，大部分教師設計的問題是“判斷下列方程根的個數”，與后面的“二分法求方程近似解”的銜接性不足，不能很好的體現數學知識的整體性，不利于學生領悟函數思想。因此，更改為“求根問題”，引導學生從數學知識發展的需要出發，先將“求根問題”轉化為“求根的個數問題”，再轉化成“求零點個數問題”，對問題進行逐步轉化，引發探究的邏輯起點，能激發學生的求知欲，培養學生的邏輯推理。

2.2? 探究定理

圖1已經標出某地時刻和時刻的溫度，假設溫度是連續變化的，這段時間內是否一定有某時刻的溫度為0℃？

師：在某一段時間內，溫度要從零下（零上）的變化到零上（零下），如果溫度是連續變化的，那么必定會在某時刻達到0，即溫度函數必定有零點。

問題1.能將這個實際問題抽象成數學問題嗎？

如果函數在某區間端點處的函數值異號，它在區間內是否一定存在零點。

設計意圖：創設問題情境，讓學生獨立思考、大膽嘗試，由特殊到一般，提出猜想，培養學生發散思維和邏輯推理素養;引導學生類比溫度函數圖像，將實際問題抽象成數學問題，使學生學會用數學語言描述現實世界，培養數學抽象、數學建模能力。

問題2.對其他函數，是否能得到相同的結果？

學生動手作出具體的一次函數、二次函數、對數函數的圖像，得到相同的結果。教師用幾何畫板演示各種函數圖像上的動點由軸下方（上方）穿過軸到軸上方（下方）的動態過程。

設計意圖：讓學生親自作圖、計算驗證，歸納得出“異號”規律，培養學生的自主探究能力和邏輯推理能力;同時，利用幾何畫板演示，使學生直觀地感知函數值連續變化規律，由“形”到“數”，由幾何直觀引發直覺思維，認清數學本質，培養學生的直觀想象素養。

問題3.對一般的函數，它在某區間端點處的函數值異號，它在該區間內就一定有零點嗎？

生：反比例函數，雖然滿足，但它在區間內沒有零點，還要加上“圖像連續不斷”的條件。若一個函數在某個區間端點處的函數值異號、圖像連續不斷，它在該區間內就一定有零點。

師：你能嘗試用數學語言來敘述得到的結論嗎？

函數零點的存在性定理：如果函數在區間上的圖像是連續不斷的一條曲線，且滿足，那么，函數在區間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根。

結合函數圖像，小組探討以下問題：

問題4.定理條件中的可以和結論中的可以互換嗎？

生：由于，有意義，不能換成;由于是的子集，能換成。

問題5.定理中的“有零點”可以換成“有一個零點”嗎？

生：不能，零點可能不止一個。（作圖說明）

問題6.若函數在區間上的圖像是一條連續不斷的曲線，并且在區間內有零點，一定有嗎？

生：不一定，也有可能。（作圖說明）

師：零點存在性定理具有一定的局限性，它只能判斷“變號零點”，無法判斷“不變號零點”。

設計意圖：讓學生自主構建定理的內容，培養學生的數學歸納能力和數學表達能力，提升學生的數學抽象素養。通過設置問題串、小組討論交流，引導學生舉出“反例”圖像，完成對定理的辨析，培養學生思維的嚴密性、深刻性，提高學生的合作探究能力和直觀想象素養。

2.3? 應用定理

求函數的零點個數？

設計意圖：應用定理加深學生對定理的理解，檢驗學生對定理的掌握情況。

3? ?數學核心素養背景下探究式教學的思考

3.1? 巧設問題情境，促進思維深度參與

問題是數學的心臟，問題是思維的動力，沒有問題就沒有思維。數學探究圍繞問題而展開，問題是數學探究的起點，它為數學探究中的思維活動指明方向。因此，在探究式教學中，創設合適的問題情境顯得尤為重要。與傳統教學相比，探究式教學中的問題應更加生活化、更具有層次性和開放性，促使學生主動地、有序地、充分地參與數學思維活動，進而提升數學核心素養。

3.2? 經歷探索過程，實現知識“再創造”

弗賴登塔爾指出：學習數學唯一正確的方法是實行‘再創造’。也就是由學生本人去發現或創造要學的數學知識，只有通過自己的“再創造”而獲得的知識才能真正掌握和靈活運用。數學探究的核心就是學生親自探索與發現的過程[2]。因此，教師在開展探究式教學時，應為學生營造積極參與的氛圍，給學生充足的時間和空間，讓學生親身經歷知識的發生、發展過程，使學生掌握數學知識技能的同時，逐漸領悟數學問題背后的數學思想方法，積累數學基本活動經驗，從而提升數學核心素養。

【參考文獻】

[1]沈良.試論“知識·探究·思維”路徑下學生核心素養的培養[J].數學通報，2017（10）.

[2]宋衛東，方厚石.數學探究貴在發現性探索[J].數學通報，2018（1）.