數學解題教學設計的實踐探索

張昆 羅增儒

【摘 要】 數學解題教學設計的技術結構有四個方面：一是教師針對某個數學問題應獲得盡可能多的解題思路；二是教師選擇具體解題思路在課堂上進行教學活動；三是確定解題過程的關鍵環節；四是教師依據學生探究數學知識的心理環節，以及其過渡性中介與數學問題所蘊含的教學價值和教學目標，將解題形態轉化為教學形態。根據這四個環節的有效配置，教師可以優化課堂解題教學的流程。

【關鍵詞】 數學解題；教學設計；解題形態；教學形態

學習數學意味著學習解題，數學解題教學是數學教學活動的重中之重。數學解題能力的高低，以及是否具備將解題能力轉化為數學解題教學能力，是評判一個數學教師優秀與否的重要標準。因此，教師需要特別關注學生形成數學問題思路的某些關鍵環節，針對學生的心理環節及其過渡性中介設計教學過程，引導學生依靠自己的認知結構力量，重新萌生形成關鍵環節的數學觀念，而不是將自己所得到的結果和盤托出[1]。

一、探究問題解法是做好數學解題教學設計的基礎

成功的數學解題教學設計對教師最為基礎的要求是，教師要認真獨立地進行解題活動， 要保持良好的解題“胃口”，對于具體的數學問題，要盡可能地尋找解決數學問題的方法，然后在獲得這些具體的解題方法的基礎上，分析學生學習具體解題方法的心理活動，設計有效的教學流程。下面以一道典型的高考壓軸題的解題教學過程進行分析。

以上解法源自不等號左右兩邊表達形式的簡單對稱，實現了化整體的大小比較為個體的大小比較的目標[2]，建構出分項放縮的證明不等式的方法，打破了我們的思維定式。很多學生喜歡將部分累加化為整體，但是由于不等式③的右邊沒有理想的方法求出其和的表達式，因此，我們可以考慮將其左邊的整體化為某個數列的前[WTBX]n[WTBZ]項和的形式。這里具有逆向思維的方法，一般情況下是不容易想到的，它需要解題者具有突破思維定式的能力。這是一道用分析法證明不等式的典型題目。

該解法運用了函數的思想，將證明不等式的“不小于”問題轉化為求函數的最小值問題。我們證明了設定的函數[WTBX]A（n）是單調遞增函數，即可由驗證函數單調性的定義來解決問題。解法二雖然沒有解法一富有創造性，但是，將與自然數n[WTBZ]相關的數列問題轉化為求函數極小值的問題，也能給人耳目一新的感覺。然而，在數學解題的教學設計中，這種探究出來的解題思路只是教師在課前準備的，接下來需要教師選擇具體的解題思路進行教學設計，將解題形態轉化為教學形態，從而為發揮解題教學價值，實現解題教學目標奠定基礎[3]。那么，如何基于這兩種解題思路展開數學教學活動呢？

二、課堂教學活動中的具體解題環節的選擇

當教師找到了具體的（有時可能不止一條）解題思路時，就應該依據具體的教學目標（數學方法、數學觀念、數學創新等），選擇某一種或兩種具體的解題思路，仔細揣摩不同學生解題的障礙點，進而設法通過教學法的處理，將學生可能出現困難的心理環節，轉化為啟發學生運用自己的數學現實獨立地萌生解題思路，促使學生鞏固數學知識、形成數學方法、生發數學觀念、吸取解題經驗，發揮數學解題的教學價值，實現具體的解題教學目標。

對于例1的兩種解法，在有限的課堂教學中，教師需要做出具體的選擇，選擇的主要依據是借助這道題的解題活動與方法實現有價值的解題教學目標，而解題教學目標蘊含于解題活動的過程之中，需要教師依據學生的個性特點、數學經驗，以及社會對數學教學的具體訴求（如利用有價值的數學課程資源培養學生的創新能力等）進行教學設計。解題教學目標的側重點并不是固定不變的，它隨著教師所設計的課程進度、學生的個性經驗、社會要求等的不同而不同。因此，數學解題教學目標是辯證的，教師在設計解題教學目標時，一定要具體問題具體分析。

例1的兩種解法，從形式上看，解法二比較簡潔，運用了處理不等式問題時常采用的方法—— 利用函數的單調性與極值的相關知識解題。相對于解法一，這個方法及其所運用的數學知識都是學生比較容易想到的。如果教師在課堂教學活動中選擇解法二，將不利于培養學生的創新能力?；诖耍覀冋J為，對于這道題的教學設計，教師在進行課堂解題活動時，應該優先選擇解法一；如果時間允許，在課堂上完成了解法一的教學過程后，再簡要地啟發學生思考解法二。

三、數學解題教學設計的關鍵活動環節是將解題形態轉化為教學形態

有了前面兩個環節的準備工作，如何在課堂上將這種解題形態轉化為教學形態，是決定教師課堂教學水平的關鍵。教師可以通過聽課或閱讀相關的解題教學設計論文等，從數學教學實踐中提升自己的解題教學能力。相對于數學解題能力，數學解題教學能力的實現基于一般的理論指導，其作用是比較弱的。我們還是以例1的解法一為例，展示將解題形態轉化為教學形態的具體方法與途徑。（下文的省略號表示學生思維的中斷。）

生1：經由對相關函數的賦值計算，可以得到[BFB]f（n）h（n）= （4n+3） n 6 ，[h（1）+h（2）+…+h（n）]= 1 + 2 +…+ n [BFQB]，于是由不等式①可知，只要證明 （4n+3[DK]） n 6 -[DK]（ 1 + 2 +…+ n [DK]）≥ 1 6 ②即可，但是……

師：這位同學成功地解決了一些外圍問題，雖然沒有涉及問題的核心，但是可以為進入問題的核心創造機會。那么，如何處理不等式②而進入問題的核心呢？

生2：由不等式②可知， （4n+3[DK]） n 6 與 1 6 都是具體的有限項，而 1 + 2 +…+ n 為無限項，因此，我想把有限項與無限項分離，于是，將不等式②變形為 （4n+3[DK]） n 6 - 1 6 ≥ 1 + 2 +…+ n ③的形式……

師：可惜了，這位同學沒有將這個想法繼續下去，從而轉化為有效的探究思路。大家有什么想法呢？

生3：比較不等式③的兩邊可知，不等式③的左邊是有限項，右邊為無限項。我的想法是可否將不等式③的右邊進行計算，使它也變為有限項，這樣就可以將其化為兩個具體的數的大小比較了。但是，實際上我沒有達到這個目的。

師：這位同學的這個想法，雖然在技術上我們難以具體執行，但是，我們可以分析他的想法的心理來源。他可能是這樣想的：對于不等號（等號也是一樣），它所連接的兩邊的式子具有一種對等關系，不等式③的這種形式不是對等的。在“求簡”的數學觀念指令下，他想到了求不等式③右邊的一個表達式?？上?，我們辦不到。怎么辦？

生4：我們可以倒著想，既然不等式③的右邊不能直接相加得到一個結果，從而得到一個與不等式③的左邊形成一個對等的形式，那么，我想把不等式③的左邊轉化為一個具體的n項和的形式。但是，我沒有想好。

師：大家想想看，這位同學的這個解題思路是否可行？

生5：要實現這個想法，就要找到一個數列的n項和，使其等于

筆者在進行這道題的解題教學設計時，對于解法一，沒有將自己的解題思路不加改造地傳授給學生，而是經過教學法的加工，啟發學生在具體的解題背景下，依靠自己的數學知識與解題經驗自行地萌生解題思路，以此實現數學解題教學的教學目標，這種教學行為明顯優于教師將自己的解題活動過程（特別是需要萌生的數學觀念）輕易地“奉送”給學生的教學行為。由此，我們可以歸納出數學解題教學設計的技術性結構。

四、數學解題教學設計對于教師的要求

通過例1的解題教學設計過程，我們可以得到數學解題教學對于教師的四個要求：一是數學教師針對某個數學問題應獲得盡可能多的解題思路，教師獲得思路的最好方式是自己親自解題，因為基于自己解題得到的思路，他會對自己的思路活動過程了如指掌，容易萌生某些數學觀念，從而容易發現并確定解決問題的關鍵環節；二是選擇具體解題思路在課堂上進行教學活動，因為數學問題所蘊含的教學價值對數學教學目標具有非常重要的作用；三是確定解題過程的關鍵環節；四是依據學生構建數學知識的心理環節及其過渡性中介，以及數學問題所蘊含的教學價值、教學目標，將解題形態轉化為教學形態，從而設計課堂解題教學的具體流程。其實，這四個要求就組成了數學解題教學的技術性結構，對于這種技術性結構的作用，我們在這里就不贅言了。

五、結語

數學解題教學應作為一項非常重要的教學目標。波利亞說，我所解決的每一個問題都將成為一個范例，用以解決其他問題[4]。這對一線數學教師提出了非常高的要求。因此，教師一定要借助自己的數學（解題）教學實踐，多聽有經驗的教師的解題教學，不遺余力地集體或自己獨立地進行解題教學研究，盡可能地閱讀解題教學設計論文，不斷完善自己的數學解題教學行為，為提高數學解題教學水平而不懈努力。

參考文獻：

[1]張昆，羅增儒. 數學解題教學設計研究：指向滲透數學觀念的視點[J]. 中學數學雜志（高中版），2017（11）：15-18.

[2]張昆.滲透數學觀念 促進深度遷移：基于發掘蘊藏于知識中的教育價值探討[J].中國數學教育（高中版），2012（5）：6.

[3]張昆，張乃達. 集中條件：數學解題的關鍵——教學設計的視角[J]. 中學數學（高中版），2016（3）：9-12.

[4]波利亞.數學的發現：對解題的理解、研究與講授（第一卷）[M]. 劉景麟，曹之江，譯. 呼和浩特：內蒙古人民出版社，1979.