三表對比，建構模型

孫業秋

【摘要】在小學數學中，正比例和反比例是相當重要的內容.本文主要就“正比例的意義”的教學實踐進行介紹，并就結合教學實踐對教學過程進行反思，以期可以更好地改善教學效果，讓學生更好地從變量的角度來認識兩種量之間的關系.

【關鍵詞】正比例;小學數學;教學實踐

正比例和反比例是刻畫某一現實背景中兩種相關聯的量的變化規律的數學模型.通過本單元的學習，一方面可以幫助學生進一步加深對過去學過的數量關系的理解，初步學會從變量的角度來認識兩種量之間的關系，感受函數的思想方法，另一方面，正比例和反比例的知識在日常生活和生產中有著廣泛的應用.學習這部分內容，既可以鍛煉學生用數學的眼光觀察現實生活的意識，發展其解決問題的能力，又可以為進一步學習奠定基礎.

教學內容：蘇教版《義務教育教科書﹒數學》六年級下冊第56～57頁例1、“試一試”和“練一練”，練習十第1、2題.

教學實踐與思考：

一、在對比中辨析“變”與“不變”

師：下面兩個表格表示了甲、乙兩輛車的行駛情況：

表1：甲車行駛的時間和所行的路程如下表.

時間/時123456……

路程/千米80160240320400480……

表2：乙車行駛的時間和所行的路程如下表.

時間/時123456……

路程/千米80150248300395490……

師：表1、表2中分別有哪兩種現關聯的量？

生：“時間”和“路程”.

師：它們在變嗎？

生：變.

師：說說它們是怎樣變的？

生1：表1變得有規律，時間是1小時1小時地增加，路程是80千米80千米地增加.

生2：表2沒有規律，時間是1小時1小時地增加，增加的路程有時多有時少.

師：如果按表1的變化規律繼續填下去，該怎樣填？

生：時間是7小時，路程就是560千米;時間是8小時，路程就是640千米……

師：那表2呢？

生1：時間是7小時，路程可能是550千米，也可能是565千米……無法確定是多少千米.

生2：表2中每一列對應的路程除以時間所得的結果是變的，例如：第一列是80千米/時，第二列是75千米/時……

師：路程除以時間，也可以說成是路程和相對應時間的比，它們的比值不變，可以說成速度一定.當速度一定時，我們可以說：行駛的路程和時間是成正比列關系，行駛的路程和時間是成正比列的量.

師：上面例子中甲車行駛路程和對應時間是不是成正比例的量？為什么？

【思考】正比例的意義是一個比較抽象的知識，如果能夠通過對比來感受相關聯的量之間的“變”與“不變”，相信學生能更加深刻地理解成正比例的量的關系.在設計時，安排了表1和表2的對比，來突出“變”（路程和時間）與“不變”（路程和時間的比值，也就是速度一定）.同時正比例意義的歸納也比較難，根據師生、生生互動，設計以下的板書：

路程和時間是兩種相關聯的量

行駛的路程和時間成正比例

時間變化，路程也隨著變化

路程和相對應時間的比的比值一定=速度（一定）

結合這樣的板書讓學生說出正比例意義就不難了.

課本中只安排了一道例題、一張表格來說明正比例意義，筆者覺得還不夠.之前已經對比了“變”和“不變”，這里筆者設計了表3對于“不變”的對比，讓學生清楚地辨析成正比例關系要相對應的兩個量之間的比值一定，其他方式的一定（例如：和一定）都不能說成正比例關系.

二、在對比中建構“模型”

師：試著判斷下面表格中的兩種量是不是成正比例的量？

購買一種鉛筆的數量和總價如下表.

數量/枝123456……

總價/元0.40.81.21.62.02.4……

生：這個表格中有數量和總價這兩個相關聯的量，數量變化，總價也隨著變化.總價和對應數量比值不變，也就是單價一定.所以數量和總價成正比例關系.

師：你能用式子表示它們之間的關系嗎？

生：總價數量=單價（一定）

師：通常我們可以這樣說：單價一定，總價和數量成正比例.生活中還有哪些相關聯的量成正比例關系？

生：長方形的長一定，長方形的面積和寬成正比例.

師：如果用x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，正比例關系可以怎樣來表示呢？

引導學生討論并歸納：yx=k（一定）

【思考】引導學生回顧之前的學習過程，說一說成正比例的量有什么共同的特點，并在充分交流的基礎上，通過抽象和概括得到正比例關系的字母表達式，既可以促使學生主動地把已積累的具體經驗上升為一般認識，獲得對正比例意義的準確把握，又有利于學生初步感悟數學抽象的過程和方法.