淺談相似三角形中的類比思想

摘 要：數學思想是數學學科的精髓，三角形相似是中學數學幾何部分的重要內容，除了知識的重要性以外，其蘊含著的類別數學思想也同樣重要。類比的思想在所有學科的學習，甚至在生活中，應用都十分廣泛，體現著學生活學活用、知識遷移的能力。所以本文以《相似三角形》的課程設計為例，體現在這部分內容學習時，如何體現出類比思想。

關鍵詞：初中數學 相似三角形 類比思想 課程設計

一、知識儲備

1.三角形相似：形狀完全相同的兩個三角形為相似三角形；如果兩個三角形相似，則互為放大或縮小的版本。

2.預備定理（平行線定理）：平行線于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，構成的三角形與原三角形相似，形式上有A型、X型。

3.類比思想：指的是根據兩類對象在所要研究的某一方面具有相似性，可以得出相似的結論。

二、三角形相似類比思想的體現

1.三角形相似概念的類比

三角形相似的概念可以類比于三角形全等的概念。教師在進行新課的引入時，可以先復習與三角形全等的相關知識，進而引導學生找出三角形相似與全等概念上的相似與區別，這樣，不僅幫助學生回憶了與相似三角形聯系緊密的舊概念，還可以通過分析分析它們的結構特征，建立起與新知識的聯系。運用類比引入新概念，可使學生更好地理解概念的本質，培養學生的思維能力。[1]

2.判定定理的類比

著名的數學家歐拉認為：“類比就是大膽創造，不過，你應該首先找到雙方的相似屬性。”三角形相似這一模塊的內容與全等有許多相似的地方，三角形相似的判定定理可以根據全等三角形的判定定理得到，即：形狀、大小相同的兩個三角形全等類比為形狀相同的兩個三角形相似，進而得到兩個角對應相等的三角形相似（AA）；三角形三邊對應相等則全等類比為三角形對應的三邊成比例，則兩個三角形相似；根據三角形全等的判定定理SAS類比于三角形對應的兩邊成比例，且夾角相等的額兩個三角形相似；此外還有直角三角形相似的判定定理也可以根據直角三角形全等HL判定定理類比

得到。[2]

這樣利用三角形相似與全等的結構幾何特征，得到定理的類比，這樣也是培養學生發現能力的過程。[3]

3.證明方法的類比

三角形相似判定定理的證明具有相似性，即通過一個定理的證明思路與過程可以類比出其他判定定理的證明過程，而且是要求學生自己獨立完成。可以進行如下的課程設計來體現類比思想。

求證：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，證明兩個三角形相似。（教師引導）

圖 1

證明：采用疊合法。

如圖1所示，在△A'B'C'邊A'B'上截取，過點D作直線DE//B'C'，得到∠A'DE=∠B'，△A'B'C'∽△A'DE，所以在△ABC與△A'DE中，∠A=∠A'，∠B=∠A'DE，所以△ABC△ADE，進而△ABC∽△ABC。

接下來，可以讓學生采用疊合法，證明如下兩個定理：

定理1：在△ABC于△A'B'C'中，∠A=∠A'，，求證兩個三角形相似。

定理2：在△ABC于△A'B'C'中，，求證兩個三角形相似。

這樣的課程設計提高了課堂的教學效率，原先三個定理的內容需要兩個課時才能完成，打斷了知識的連續性，而現在只需要一個課時就可以將三種定理的證明講解完，使課堂的內容具有連貫性，便于學生從整體上來理解各個判定定理的證明。

4.相似三角形性質的類比

性質1：兩個相似三角形對應的高成比例，且為相似比。

圖 2

證明：由于△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，有因為AD、AD'是高，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'，那么根據相似三角形對應邊成比例得到：

上述過程由教師引導學生一起完成，接下來，教師可以采用分組教學的方式，將相似三角形中線以及角平分線對應成比例的證明安排學生獨立完成。思路則是利用兩個內部的小三角形相似得到相應的結論，都是先證明兩個三角形相似，然后用“相似三角形的對應邊的比相等”證到結論。

性質2：兩個相似三角形對應的中線成比例，且為相似比。

性質3：兩個相似三角形對應的角平分線成比例，且為相似比。

比如，可以將學生分為8個組，其中4各組證明形似三角形的中線性質，剩下的同學證明相似三角形角平分線的性質。這樣的設計可以在學生感剛剛掌握相似三角形高的性質之后，利用相類似的證明思路，通過小組討論這樣靈活的教學形式，讓學生體會到知識之間的緊密聯系，新舊知識融會貫通。

類比思想在相似三角形中的應用，將新舊知識點進行結合，在鞏固舊知識的同時，還學習了新的知識，降低了許多同學的學習難度，學習變得有章可循。

5.三角形相似的應用

一種數學思想之所以重要，是由于其擁有較高的現實意義，即應用性較強。類比思想的重要性就體現在其應用可以簡化習題。無論是在初中階段還是高中階段的基礎教育中，類比的思想是一種重要的解題方法，以此來指導教師教學和學生學習，從而實現教師和學生輕松而高效的教和學。三角形相似的相關習題種類多樣化，這樣導致學生在解題時常常感覺困難，造成的原因之一是不定的利用類比的思想來求解習題，也就是不懂得如何舉一反三。比如，可以將利用相似來證明比例式、證明三角形相似、求某一線段的長等等。

例1：如圖3在△ABC中，DE//BC，BF平分∠ABC，BF的延長線交DE的延長線于點F，AD=1，BD=2，BC=4，那么EF=______.

圖 3

例2：如圖4，CD是∠ACB的角平分線，BE//CD.求證：（1）BC=CE；（2）

圖 4

例1與例2的證明方式相似，涉及到角平分線、平分線內容，可以將例1的解題方法類比用在例2 的證明上，實質上許多題目是某一題目的變式，具有相似性，只要善于利用類比法，就可以提高學習的效率。類比思想還有助于發散學生思考問題的思維，增強創造能力，這也是素質教育的要求。在中考的題目中，有許多都是由三角形相似圖形變形構成的新圖形，利用類比的思想來尋找角或是邊的關系，從而找到解題的方法。

三、提升類比思想滲透在教學中的策略

相似三角形是初中階段的知識點，盡管在這之前已經接觸到了類比思想，但是并不熟練，沒有掌握類比思想的核心，基于此，提升類比思想的滲透的首要策略是加強教師的引導。教師要深入研究教材，發現可以應用類比思想的內容，并會恰當的對學生進行引導；其次，要緊扣每節課的教學主線。每節課的教學主線貫穿了整節課知識的核心知識、技能、數學思想方法。比如在進行三角形相似性質的教學時，三角形相似對應高、中線、角平分線對應的比是主線，教師在課堂上的每一點引導都是分布在這條主線的周圍，新知的探究與生成，完全建立在舊知的回顧與應用的基礎之上，“兩角對應相等的兩個三角形相似”和“相似三角形的對應邊成比例”成就了“相似三角形的對應高的比等于相似比”，同時還為下一步的類比探究積累了寶貴的經驗；最后，要注重課堂教學形式的多樣性，比如加入小組討論，這樣的教學方法十分適合探究類的問題，他們將自己的想法互相交流，通過師生、生生之間互動辨析，逐步將這些個性化的經驗變為大家認同的經驗，將知識、方法互相共享。

結語

在教學中發現，學生在初學三角形相似的判定定理證明時，常常無從下手，可是將類比的思想加入在教學中，學生有全等的知識與方法作為鋪墊，類比后相似三角形的內容變得熟悉，提高了學生的學習效率。實際上類比思想在中學中的應用不僅僅體現在三角形相似的教學中，教師要善于深度挖掘教材，培養學生自主學習的能力。總之，應該更加注重類比思想的教學，培養學生解決數學問題的能力，提高每位學生的數學素養，真正的實現“素質教育”。

參考文獻

[1]王月祥.突出類比思想，促進課堂生成[J]，教學導航，2016，（9）：65.

[2]丁科利.相似三角形中的類比思想—《相似三角形》的教學設計[J].初中數學教與學，2017，（8）：67.

[3]吳凱紅.重組教材關聯處，“同而不同”在類比—“相似三角形的判定方法”教學設計及解讀[J].教學導航，2017，（3）：23.

作者簡介

賈安國（1970，10—），男，漢，四川成都人，中學一級教師，彭州市麗春鎮北君平初級中學，研究方向：初等教育。