反例在中學數學中的構造

王雯

摘 要 在數學研究中， 構造反例研究問題是非常重要的， 它在數學研究以及數學教學中有著重要的地位和作用. 本文對反例的基本內涵進行了簡要介紹， 并深入討論了反例的構造原則、構造方法， 希望能將反例的構造方法應用于實際教學中。

關鍵詞 反例 數學教學 構造方法 構造原則

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2019.10.082

Abstract In mathematics research， it is very important to construct counterexample research problems. It has an important position and role in mathematics research and mathematics teaching. This paper briefly introduces the basic connotation of counterexamples， and deeply discusses the construction principles and construction methods of counterexamples; hope that the construction method of the counterexample can be applied to the actual teaching.

Keywords counterexamples; mathematics teaching; construction methods; construction principles

1 介紹

在邏輯學中，反例是相對于某個全稱命題的概念。而命題則由條件與結論兩部分組成。無論是在生活中還是數學學科以及自然科學中中，反例都有重要的應用。在數學中，反例可以用來說明一個命題是假命題，關鍵在于這個例子的特征，它必須滿足該命題的條件，但是不滿足該命題的結論.數學的嚴謹性、邏輯性與抽象性為這門學科披上了一層神秘的面紗，它大多數時候不會特別簡單而直白，所以學生在學習數學這門學科時，很多時候往往不能簡單直觀地理解它，因此，在數學教學中，教師除了要教給學生基本的、嚴密的邏輯推理以外，還要引導學生掌握逆向思維的方法，換句話說，就是要讓學生在掌握正面論證的同時，學會舉反例。

2 反例的構造原則

反例的構造需要遵循一定的原則，不是每個題目都適用于構造反例，反例也不是多多益善，構造反例需視實際情況，科學合理地來構造。

2.1 正確性原則

數學是一門具有嚴謹的邏輯體系和縝密的思維特點的學科，數學學科的嚴謹性要求我們在構造反例時要堅持正確性原則，也即我們在構造反例時要有依有據，不能想當然，憑空捏造，所構造的反例必須有明確的依據，而且構造反例時，也要分析已知題目的性質、特點，找好切入點，“對癥下藥”。如果所舉的例子本身正確性就存在考究的話，那就沒有意義了。此外，需明白，舉反例不是說讓我們舉一個錯誤的例子，而是舉出能說明其問題錯誤的正確例子。

2.2 簡單性原則

構造反例的意義本身就是將問題化繁為簡，因此，反例的構造應該盡可能簡潔明了，讓人一目了然。也就是說，只有能夠有效地說明問題，所舉的反例只有更簡單，沒有最簡單。

例如，要說明命題“若，則”是假命題，只需要舉例“”即可說明問題。簡單的數字讓人一目了然又極具說服力。

2.3 全面性原則

數學要求嚴謹、客觀、全面，構造反例同樣如此。找反例時，要考慮全面，把所有可能涉及到的情況考慮進去，學生在構造反例否定結論時，往往因為思維不全導致出錯。因此，構造反例一定要堅持全面性原則。

這都與已知矛盾，所以假設不成立，即結論成立，即得證。

2.4 經驗性原則

在數學中，有一些常用的反面對立詞，平時我們可多多積累，形成經驗。要善于歸納總結一些常用思想方法，當題目中出現關鍵詞時，能迅速在腦海中定位并找出反設。因此，我們要清楚一些特殊結論的反設。

3 反例的構造方法

了解了反例的基本含義，也明確了反例在數學教學中的作用至關重要，但這些還不夠，我們需要掌握反例的構造方法，學會自己構造反例。知道反例的作用固然重要，但更重要的是知道如何構造反例。

3.1 特例法

特例法，顧名思義，就是特殊的例子，通常是符合題設的某個特殊例子，使得命題的結論不成立。所謂特殊例子，可以是某些具體情況，也可以是某些極端情況，并且這些情況的結論是已經被證明為真的。如：判斷命題“任何數的平方都大于它本身”的真假，只要舉出“0.1”這一例子就可以了;而要推翻命題“如果，那么”，只要舉出反例：，但是-3≠3即可。在構造反例時，要特別留意題設中出現的主題詞，找到這一主題詞包含的特殊情況。如，當題設中出現四邊形時，要注意考察平行四邊形、矩形等特例;當題設出現非負數時，要注意考察0這一特例;當題設出現三角形時，要注意考察等腰三角形、直角三角形等特例。

3.2 圖形直觀法

圖形往往帶給人最直觀的視覺感受，因此，在構造反例時，我們可以利用圖形，直觀清晰地說明問題。

例2 判斷命題“有公共頂點的兩個角是對頂角”的真假，并說明理由。

解：該命題是假命題。

我們根據對頂角的定義，一個角的兩邊分別為另一個角的兩邊的反向延長線時，這兩個角是對頂角，有公共頂點的兩個角的兩邊不一定互為反向延長線，所以該命題為假命題。

如圖1所示，∠1和∠2有公共頂點，但∠1和∠2不是對頂角。

此例根據所構造的圖形可以給人直觀真切的感受，從而更便捷地說明了問題。

3.3 逆否命題法

在學習命題時，我們知道，原命題與它的逆否命題具有同真同假性，因此，對于有些數學問題，我們可從它的逆否命題出發，進行真假性的討論。我們可先寫出原命題逆否命題，后從逆否命題的條件出發構造反例，如果推出逆否命題正確，則說明原命題正確，反例錯誤，并從使得逆否命題錯誤的角度出發尋找條件構造反例。

例3 若是合數，則一定是合數。

分析：原命題的逆否命題為“若不是合數，則一定不是合數”

先從逆否命題的條件出發，假設不是合數，那么可能為質數或為1。

當時，不是合數，逆否命題正確，反設錯誤。

因此當排除出現矛盾的這一條件“”時，反設正確。

反例：取為質數。

當為質數時，顯然為合數，逆否命題不真，因此原命題為假命題。

3.4 定義法

運用定義法構造反例，首先需要對數學中的定義、定理、法則較為熟悉，在構造反例時，抓住定義中容易被忽視的條件來構造。

例4 舉反例說明命題“兩條直線被第三條直線所截，同位角相等”是假命題。

分析：對照同位角相等的定義“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”，不難發現，題設中少了“兩直線平行”這一條件，因此，我們可以抓住這一條件，再結合上文提到的圖形直觀法，構造出反例：

反例：如圖2所示，當直線不平行于直線時，同位角∠1和∠2不相等。

類似地，在說明“同旁內角互補”是假命題時，根據定義“兩直線平行，同旁內角互補”，可知在同一平面內，只有當兩直線平行時，同旁內角互補才成立，因此可以此切入構造反例。

運用定義法構造反例時，需要格外注意定義、定理、法則的限定條件，尤其當出現“僅僅”、“平行”、“垂直”時，要更加注意對照分析。

4 結語

數學作為一門內涵豐富的基本學科，其教學既要讓學生獲得知識，豐富文化內涵，又要發展學生自主質疑與糾錯的能力，而反例常常以它自身的魅力引導學生對問題探究到底，成為引發學生深入思考的催化劑。反例的構造方法多種多樣，文中只是選取部分典型例題進行說明。需要注意的是，引入反例要根據學生的認知特點、思維發展程度來進行，要有針對性的層層深入，要將反例妙用而不是濫用。

參考文獻

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