數學排列組合問題思維方法探究

劉文沖 馬琦琳 韓程遠

摘 要：在處理數學問題的過程中，采用正確的方法會起到事半功倍的效果。排列組合的思維方法是指在遇到數學問題時要將其拆分成不同的模塊，然后將不同的小模塊進行重新組合，就產生了一個全新的問題。如此處理問題不僅能在根本上認識問題，還能激發學生對數學的學習興趣，讓學生認真學，樂意學。

關鍵詞：數學教學;數學問題;思維方法;排列組合

中圖分類號：G633.6文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2019）12-0074-01

數學思維是用數學思考和解決問題的思維活動。一個良好的思維習慣是處理數學問題最有效的工具，在學習過程中，學生要把客觀問題所含的基本規律抽象出來，在大腦中形成一個自己的認識，并產生自己的看法，從而靈活掌握。本文提出的排列組合的方法是學生在處理數學問題時舉一反三的重要工具。

一、排列組合思維方法

其一，排列組合思維方法的益處。良好的思維方式有助于對數學問題的認識和對基本知識的梳理，能促使學生從本質上看待問題。排列組合的思維方法將問題中所涉及的基本知識抽象出來，將一個大的問題分成了不同的小模塊，即簡單的知識點，再將小模塊進行重新排列組合形成全新的問題。如此處理數學問題不僅能使學生充分理解知識，還能培養學生從出題者的角度看待問題，提高學生自學的能力。此外，還能激發學生的學習興趣，使學生能更透徹地看待問題。其二，排列組合思維方法的應用。學生在應用排列組合思維方法時要注意平時的積累和觀察，積累每一道題，將每一道題劃分模塊，然后將運用到相同知識點的題放在一起比對，充分了解每一個模塊的運用方法。知識的運用變化莫測，學會排列組合思維方法，運用能力才能提升。

二、排列組合思維方法舉例

問題1：設f（x）在[-a，a]（a>0）上具有連續的二階導數，且 limn→0■=0 。證明存在M>0使得f（x）≤Mx■，？坌x∈[-a，a]。解題思路，本題先用泰勒公式寫出f（x）的x2的形式，即■x■，再利用不等式 ■≤M得出答案。本題中涉及的知識點有：泰勒定理、導數定義、連續條件的含義。

問題2：設■lnn（n+1）■（n+2）■ ，問a，b取何值時該級數收斂。解題思路：該題利用lnab的計算公式將原式展開成（1+a+b）lnn+aln（1+■）+bln（1+■）的形式，再利用泰勒公式計算出結果。本題中涉及的知識點有：泰勒公式和級數。兩問題中泰勒公式和不同的模塊組合，即不同的運用形式和不同的排列組合形式。

問題3：求級數■■+■的和。解題思路：首先構造函數f（x）=■■x2k+1，求出f（x）=■-1，再進一步積分求出f（x），下一步將特殊值1帶入f（x），得出左半部分的值，而■=■=1，結果顯而易見。這道題運用常規的級數解題思路顯然是行不通的，可用構造函數的方法解決級數的問題。函數構造的技巧性是非常強的，學生要有著比較靈敏的感覺，要第一眼就意識到級數的左半部分可以進行函數構造，以此來簡化問題。本題中涉及的知識點有：構造函數、級數。

問題4：設f（x）在[-1，1]上有二階導數，且f（-1）=f（1）=■，f（x）≤■ 。證明f（x）≤■ ，x∈[-1，1]和 f（x）= x在[-1，1]上有且只有一個實根。第一問解題思路：利用泰勒公式分別寫出f（-1）、f（1）的表達式，之后兩式做差，利用所得關系試構造不等式，最后得出max-1≤x≤1■=■，因此，f（x）≤■， x ∈[-1，1]。第一問涉及的知識點是泰勒公式和不等式的運用。不等式的運用和構造函數一樣，同樣具有較高的靈活性。學生平時要加強經驗積累，見到什么樣的類型，就在腦海中及時反映出做過的類似的題型，并及時加以比較，做好總結。談到不等式，要熟記幾個均值不等式的形式，熟記條件，并加以靈活運用。第二問解題思路：構造函數，令F（x）= f（x）-x，x∈[-1，1]，則F（-1）= f（-1）+1=■，F（1）=f（1）-1=-1/2 ，但F（x）在[-1，1]上連續，由介值定理可知，F（x）在[-1，1]上至少有一個零點，又由第一問可知，F（x）=f（x）-1<0，所以F（x）在[-1，1]上嚴格單調，從而至多有一個零點，這樣F（x）在[-1，1]上有且只有一個零點，即f（x）=x在[-1，1]上有且只有一個實根。第二問涉及的知識點有：構造函數、介值定理和函數的單調性。介值定理在極限中同樣應用廣泛，是考查的重點。第一問主要用到了泰勒公式，是泰勒公式和不同知識點的聯合運用。第二問核心思路是構造函數，第一問中同樣涉及了一些構造的知識，和第三題做比較，是構造函數和不同知識點的聯合運用。

三、結語

總之，運用排列組合思維方式有助于學生理順題目中涉及的知識，形成一個知識框架，激發學生探索數學奧妙的興趣。因此，教師應重視排列組合思維方式的滲透，提高學生有效解決數學問題的能力，培養學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1]楊梅.數學排列組合問題中的易錯點探研[J].成才之路，2018（08）.

[2]章幸辛.數學教學實踐中數學思維的認識及培養[D].江西師范大學，2003.