淺談“數(shù)形結(jié)合法”解決方程根的分布問題

陜西 張曉瑩

方程根的分布問題一直是高考中重點(diǎn)考查的一類題型，這類題型經(jīng)常與函數(shù)等相關(guān)知識綜合考查，借助多個函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形來觀察方程根的情況，即數(shù)形結(jié)合將根的分布問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題或者多個函數(shù)的交點(diǎn)分布問題.如果能發(fā)現(xiàn)試題規(guī)律，掌握做題技巧，那就可以得到事半功倍的效果.下面筆者結(jié)合幾道例題談?wù)勅绾吻捎脭?shù)形結(jié)合思想解決方程根的分布問題.

題目1：已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩個根，其中一個根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；

(2)若方程的兩個根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求m的取值范圍.

思路1：數(shù)形結(jié)合將方程根的分布問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問題

(1)分析：方程x2+2mx+2m+1=0的兩個根，一個根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的零點(diǎn)一個在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個在區(qū)間(1,2)內(nèi)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象，只需求解f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0不等式組即可.

解法：令f(x)=x2+2mx+2m+1，因?yàn)閒(x)=0的一個根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，所以函數(shù)y=f(x)有兩個零點(diǎn)，一個在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一個在區(qū)間(1,2)內(nèi)，

點(diǎn)評：將方程根的分布轉(zhuǎn)化成函數(shù)零點(diǎn)的分布，只需根據(jù)函數(shù)圖象討論區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)滿足的不等關(guān)系即可.

.

點(diǎn)評：根據(jù)二次函數(shù)的圖象，討論區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).另外，必須根據(jù)圖象討論Δ的值及對稱軸的位置.

思路2：轉(zhuǎn)化為拋物線與直線交點(diǎn)的分布問題

(1)分析：方程根的分布可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(x)=x2與一次函數(shù)g(x)=-2m(x+1)-1的交點(diǎn)分布問題，又g(x)恒過點(diǎn)P(-1,-1)，根據(jù)圖象可分析出動直線g(x)只能從PA轉(zhuǎn)到PB，寫出直線g(x)斜率的取值范圍.

點(diǎn)評：根據(jù)方程的特點(diǎn)，方程根的分布可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)f(x)的圖象可直接畫出，直線g(x)是恒過定點(diǎn)P(-1,-1)的動直線，通過轉(zhuǎn)動直線，找到與拋物線兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，得到直線斜率應(yīng)該滿足的條件.

(2)分析：根據(jù)圖象分析出動直線g(x)只能從PB轉(zhuǎn)到PA，寫出g(x)斜率的取值范圍.又PB為f(x)=x2的切線，所以需要求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)得到點(diǎn)B的坐標(biāo).

點(diǎn)評：問題的關(guān)鍵是分析出g(x)斜率的取值范圍，并求出PB和PA的斜率值.

思路3：轉(zhuǎn)化成對鉤函數(shù)與常函數(shù)對應(yīng)圖象交點(diǎn)的分布問題

點(diǎn)評：問題的關(guān)鍵是畫出y=g(x)的函數(shù)圖象，并能觀察出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間(-1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)時m的取值范圍.

(2)分析：畫出g(x)的圖象，觀察其與直線f(x)=2-2m的交點(diǎn)分布情況，得到y(tǒng)A<2-2m

點(diǎn)評：問題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)y=g(x)的圖象，并能觀察出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在(0,1)上時m的取值范圍.

點(diǎn)評：利用兩個函數(shù)圖象的特點(diǎn)，分析如何建立等價的不等關(guān)系.

分析：由題設(shè)條件，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，要使f(x)在區(qū)間(0,2)上恰有一個零點(diǎn)，只需f(1)=0或f(2)≤0，由此可求出a的取值范圍.

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)推導(dǎo)出f(x)的單調(diào)性，結(jié)合圖象得出不等關(guān)系.