“p”的自述

福建 吳志鵬 林鐘鵬

一、初識“我”

我的學名叫“非p”記作“p”，準確地說我叫“命題p的否定”，我有一個兄弟叫“否命題”，他比我小，我倆長得還挺像，因此經常會有人說“他”就是小時候的“我”，其實我倆還是有很大區別的，作為大哥“非p”的“我”只是對命題p的結論作否定，而作為小弟“否命題”則是對命題p的條件和結論分別作否定，要辨別我倆誰是誰，其實也并不困難，想一想，小的時候，做了壞事，別人總是會評價：這么小就做壞事，肯定是父母沒有管教好，其意思就是因為父母沒管教好，小孩子才做了壞事,即對所做事的原因和結論都進行否定；長大了，要是你做了壞事，那你就得對自己負責任，別人的評價再也不會牽連監護人了，即只是對你做的事進行否定，而對原因并不否定.這就是作為小弟“否命題”和大哥“命題的否定”的一個區別吧，也不知這個比喻是否妥當，那么，你是否能快速地區分出我倆呢？對我是不是大概有了些印象呢？

【例1】寫出下列命題的否定與否命題.

命題p：若xy=0，則x=0或y=0.

命題p的否定：若xy=0，則x≠0且y≠0(只對結論進行否定)；

命題p的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0(分別對題設和結論進行否定).

二、深識“我”

由于命題p善于偽裝，呈現出來的形式多樣，命題p的改變導致了“非p”的“我”也不得不隨之而變，此時若你想要認識我，就得下一番苦功，那么如何才能更好地認出我呢？《西游記》中唐僧西天取經，無論妖怪有多厲害，它總是逃脫不了孫悟空的法眼，因為孫悟空練就了一雙火眼金睛，同樣的，命題p也會像妖怪一樣善于偽裝，那么我就得有辨清命題p的本領了，這樣“我”才能克敵制勝，我可是只用了一招“兵來將擋，水來土掩”就取得了勝利，看你那表情好像是不太相信啰？那我現在就悄悄地告訴你，試試用“補集”的思想來理解命題的否定，我們可以把問題的所有關系看成是“全集”，找出命題p所含的關系，那么“非p”則是命題p所含關系的全部補充，即我們所說的“補集”，這樣你就能“以不變應萬變”，解開在理解“我”的過程中的一些困惑.現在把理解“我”過程中存在的情況作一些闡述，以期大家能更好地認識“我”.

1.含有“都、全”等一類短語命題的否定.

【例2】命題p：若x+y是偶數，則x，y都是奇數.

【分析】關于x，y與奇、偶數的關系有四種，即①x是奇數，且y是奇數；②x是奇數，且y是偶數；③x是偶數，且y是奇數；④x是偶數，且y是偶數.命題p所包含的關系為第①種，用“補集”的思想來理解，其否定即為其余三種關系.那么也就很容易理解：p：若x+y是偶數，則x，y不都是奇數；而不是若x+y是偶數，則x，y都不是奇數.

【變式】命題“方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不全表示圓”的否定.

分析：本題含三種可能，即方程表示圓、表示點、也可能不表示任何圖形.命題p含有表示點或不表示任何圖形兩種可能，其否定即為余下的表示圓這一種可能.

2.含有“至多、至少”等一類短語命題的否定.

【例3】命題p：至多存在一組實數對x、y，使得x-y=1.

【分析】先將命題p改寫成若p則q的形式：若x，y是實數，則至多存在一組實數對x，y，使得x-y=1.此時我們知道x，y的實數對組數含有0組、1組、2組、3組……，而命題p所含的實數對組數為0組、1組兩種，用“補集”的思想來理解，命題的否定即其他組數的全部，存在的實數對組數為2組、3組……，則p：至少存在兩組實數對x，y，使得x-y=1.

【變式】命題p：若abc=0，則a，b，c中最少有一個為零，求p.

【分析】本題含有a，b，c中沒有一個為0、有一個為0、有兩個為0、三個全為0四大類，共計八種可能，命題p所含的是有一個為0、有兩個為0、三個全為0，共七種可能，用“補集”的思想來理解，命題的否定即為沒有一個為0這一種可能.

3.含有“或、且”等邏輯聯結詞命題的否定.

【例4】命題p：若x+y=5，則x=3或y=2.

【分析】結論所包含的全部關系，即x與3，y與2的關系有①x=3且y=2；②x=3且y≠2；③x≠3且y=2；④x≠3且y≠2，命題p的結論所包含的關系為第①②③種，用“補集”的思想理解，其否定則為第④種關系，即為x≠3且y≠2.

【變式】命題p：若x+y=5，則x=3且y=2；命題p的結論所包含的關系為第①種，用“補集”的思想理解，其否定為第②③④種關系.

4.全稱命題與特稱命題的否定.

【例5】命題p：所有能被3整除的整數都是奇數.

【分析】命題的全部為能被3整除的整數，此時的“全集”可理解為包含有能被3整除的整數全是奇數、能被3整除的整數全是偶數、能被3整除的整數部分是奇數、部分是偶數三種.命題p所包含的則是第一種，用“補集”的思想理解命題的否定，即三種關系中的第二、三種，也就是說能被3整除的整數全部為偶數或部分為偶數、部分為奇數，則稱存在一個能被3整除的整數不是奇數.反之同樣可以理解以下命題，命題p：存在一個能被3整除的整數不是奇數.p：所有能被3整除的整數都是奇數.

對于全稱命題和特稱命題的否定，全稱命題形式為?x∈A，p(x)成立，其命題的否定為?x0∈A，p(x0)；特稱命題的形式為?x0∈A，p(x0)成立，其命題的否定為?x∈A，p(x).

【變式】(2016·浙江卷·4)命題“?x∈R,?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是

( )

A.?x∈R,?n∈N*，使得n

B.?x∈R,?n∈N*，使得n

C.?x∈R,?n∈N*，使得n

D.?x∈R,?n∈N*，使得n

(答案為D).

三、再回首

前面已經為大家找到了一個深入認識“我”的好方法——利用“補集”的思想，這樣就能“以不變應萬變”，解開在認識“我”的過程中存在的一些困惑，最后讓我們再來看看在認識“我”的過程中還會遇到哪些問題？

【錯解】由于命題p為假，則p為真，所以有解得m>1或m<-3，所以m的取值范圍為{m|m>1或m<-3}.

對比兩個解法，你有什么發現？在認識“我”的過程中還得先弄清命題p的本質屬性，不要輕易下結論哦.

【例7】命題p：若a>b，則a2>b2，求p.

【錯解】p：若a>b，則a2≤b2.

【正解】p：?a>b，使得a2≤b2.

【分析】由于命題p與p的真假相反，本題中的命題p為假，如果p記作：若a>b，則a2≤b2，我們很容易可以看出這也是假的，與命題p與p的真假相反的理論相矛盾，所以p的這種記法是錯誤的，錯誤的原因在于對命題p不能正確地理解，導致分不清命題p是哪種類型，其實本題的命題p是一個省略了全稱量詞的全稱命題，即?a>b均有a2>b2，這是假的；那么它的否定應是?a>b，使得a2≤b2，命題的否定為真.

【變式1】命題p：若x>3，則有x>5，求p.

一般情況下，全稱量詞有時可以省略,這是語言表達簡潔的需要,但是存在量詞不能省略，否則會導致在判斷命題的真假性時出現失誤.我們在解答命題的否定時，也可以用命題p與p的真假性相反來進行檢驗，看看p的表述是否正確.總之，要準確無誤地寫出一個命題的否定，需要認真審題，特別要審視關鍵字眼，對于一些簡潔的命題，需要還本歸真，透過現象看到本質，才能用正確的數學語言表述.