坐標系演繹出的精彩

江蘇 郭建華 張云飛

坐標系是幾何問題與代數問題相互轉化的有效工具，它將 “數”與“形”有機地結合在一起，在問題的求解過程中體會數形結合的思想，比如通過構造“形”來體會問題的本質.把問題放在坐標系中研究，其主要目的是讓學生領悟數形結合的思想、培養深度剖析和解決問題的能力，以及在借助坐標系探尋解題思路的同時獲得解題的創造力.

1.結構探究，賦予聯想

【例2】在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若存在實數λ使得sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數λ的取值范圍是________.

【點評】結合△ABC的性質和a+b=2c>c這一結構特征，自然聯想到橢圓的定義，從而想到構造橢圓，利用橢圓的幾何性質解題，用這種方法求解簡化了繁瑣的代數運算，達到了事半功倍的效果.可見，結構是分析問題的抓手，轉化是求解問題的武器，坐標系這個得力工具不可小覷.

2.兩圖聯合，渾然天成

【點評】一般分段函數復合后的函數的零點問題，常規解法是先借助復合形式得到新函數，再對所得函數進行討論，顯得比較繁瑣.但是通過適當的換元，將復合函數問題化為兩個熟悉的基本函數，再將中間變量m和x有機地聯系在一起，在同一個坐標系下研究兩個函數的圖象，那么會降低解題的難度，達到避繁就簡的效果.

3.合理建系，簡化運算

【點評】選擇以BA所在直線為x軸建系是為了更容易求出點M,N的坐標和建立所求目標表達式，進而讓運算更簡潔.

4.斜坐標系，簡潔明快

解析：以A為原點，AB,AC所在直線為x軸，y軸建立斜坐標系xAy，∠xAy=120°，

【點評】其實建立斜坐標系解題就是對平面向量基本定理深化的理解和拓展應用，它具有縮短探究歷程、解法通俗易懂、運算簡潔明快等特征.斜坐標系下的平面向量的坐標運算以及向量共線的表示方法與直角坐標系下的運算相同，對于其向量數量積，設a=x1e1+y1e2，b=x2e1+y2e2，則a·b=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2+y1y2+(x1y2+x2y1)cosθ，其中e1,e2是與x軸、y軸同向的單位向量，=θ.利用已知條件和斜坐標系下的向量數量積公式求出點E坐標，問題便輕松獲解.

5.極坐標系，如虎添翼

夯實“四基”，提高“四能”是新課程(2017年版)的目標，也是我們課堂教學要追求的終極目標.讓學生通過觀察、實驗、猜想、討論等形式獲得解題方法，讓學生主動參與解題教學，體驗獲得知識的過程，并在教師的引導和幫助下發現問題和提出問題，逐步掌握分析問題和解決問題的基本方法，加強對問題的反思.比如，怎么會想到用建立坐標系求解？題目中是否具有提示性的信息？用坐標法求解與其他方法求解有什么不同的地方？使得解題變得簡單了還是復雜了？只有讓學生弄清楚問題的來龍去脈，才能在以后的解題中會用坐標法求解，達到舉一反三的效果.以例5為例，和其他方法相比較，這樣建系的好處是易于表達目標且運算簡便，提高了解題的效率，同時也提醒學生解題不能盲目順從，而應該深刻理解題意，增強應變能力和解題的智慧.在平時的解題教學中，在教給學生方法的同時更重要的是教會學生思考，只有學生會思考，學生才能學會選擇和比較，辨別不同解法的優劣，理解問題的本質，提高思維能力，培養創新精神.