對數學抽象核心素養的解讀

湖北 王衛華 洪 程

數學抽象是數學的基本思想，是其他學科素養的基礎，是形成理性思維的重要基礎.隨著新課改的大力推進，人們的教育觀念從只注重成績逐步轉向關注學生核心素養的養成，國民核心素養的培育毫無疑問是極其重要的課題，對高中生而言，數學核心素養是繞不開的話題，而數學抽象是排在所有數學核心素養之首，是其他數學核心素養的基礎，正如史寧中教授所說：數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也是抽象.我們教學的最終目的也是培養學生初步的抽象思維，即邏輯思維能力，從問題情境到概念的升華、從具體計算題抽象出計算法則、從具體應用題抽象出常見的數學模型等,無一不是抽象的過程.數學的抽象決定了數學可以培養學習者的抽象能力，也決定了學習者必須具有一定的抽象能力.那么我們如何理解數學抽象呢？

一、數學抽象的定義

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的素養.

從數學抽象的內涵看，數學抽象主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，并用數學符號或者數學術語予以表征.注意這里舍去的“物理屬性”不是物理科學和物理理論，而是現實的物體的特殊性質.舍去的是它們的不同點，而得到的是它們的共同點，其中關于數量關系和空間形式的共同點就是數學研究對象——數學抽象.另外某些共同點是物理或者其他科學的研究對象，就是物理學或其他科學的抽象.

從數學抽象的學科價值看，數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中.它具有把具體問題用簡潔的數學語言符號表示、用一般的方法來解決復雜的數學文字、變表面無關的東西為奇妙的數學結構和體系的作用.“抽象”一詞幾乎成為了數學的代名詞，數學抽象使得數學成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統.

從數學抽象的教育價值看，通過數學抽象核心素養的培養，經歷從具體到抽象的過程，能夠感悟數學概念、命題、方法和體系的形成；能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質，逐漸養成一般性思考問題的習慣；能夠在其他學科的學習中主動運用數學抽象的思維方式解決問題.

二、數學抽象的特點

1.數學抽象具有抽象性

數學是一門研究度量、形式、圖形和變化的學科，雖說它的研究對象脫不開現實原型，但可以繞開具體內容，理性地抽象出思維結果；另外我們可以用公理化的方法統一數學研究的各個領域.比方說，我們從海水潮汐變化、工廠投入與產出的利潤、斜拋運動等問題中抽象出函數概念，并研究得出它的各種性質，自此就可以借助函數的思想統一協調高中代數的主體內容，融合各數學分支形成一個整體，大大提升了學生的數學抽象能力.由此可見，在教學中如果我們運用恰當的教學方式，定會培養出學生在學習中的數學抽象能力.

2.數學抽象具有合理性與可操作性

數學抽象的合理性表現為重點抽取對象的數量關系或空間形式，同時還表現為相對的確定性.以概率為例，我們從實際問題中抽象出各概率特點，如根據對象是離散的還是連續的，將概率劃分為古典概率與幾何概率等概率模型，分別得出相應求解策略，這些結論相互補充正好構成了系統且完備的知識體系，有利于學生的理解與掌握.我們運用公理化的思想，借助合理性的數學抽象可以建立起各種數學符號體系，并借這個科學思維的智力工具，通過某些可操作的教學行為，使得學生有效地建立起形式化、統一化且具有聯系性、整體性的數學知識和思想方法體系，并在解決問題的過程中不斷鞏固、完善和發展這一體系.這樣加以規劃、設計和培養數學抽象能力，可以使學生的數學學習形成良性循環.

3.數學抽象具有層次性與可接受性

數學抽象由于抽象的對象(概念、模型、理論體系等)和過程的不同，數學抽象的發展體現出不同的層次性，正如概念的內涵與外延關系一樣，越抽象概括性越強、應用性越廣泛，反映人們抽象思維水平也就越高，但與之俱來的是學生接受知識的困難大大增加.如函數的概念，初中給出的定義是以現實問題中的例子為依托、利用文字敘述給出來的，初中“變量說”的函數定義抽象程度相對較低，對于剛接受從常量學習轉向變量學習的初中生而言具有可接受性.但這種非形式化的定義具有很大的局限性，不能進一步深化函數的意義和仔細描述函數性質，因而高中教材采用了抽象程度更高的“映射說”，通過引進函數符號f(x)，使得函數的眾多性質可以通過形式化加以定義和證明.誠然，隨著年齡的增長，高中生已具備了一定的數學抽象能力，但是，面對由“非形式化”向“形式化”的飛躍，倘若我們在教學中不能處理好兩者的有機結合，那么學生會難以理解函數思想，自主運用函數觀點解決問題更是無從談起.可見，教師的有效教學調控、耐心引導，并訓練學生逐步從初級的經驗水平轉向高級的科學水平的抽象，對學生形成數學抽象這一核心素養具有極其重要的作用.

三、數學抽象水平的質量標準

新課標每個數學核心素養水平都是從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思這四個方面來闡述，并且每一個數學核心素養均劃分為三個水平，數學抽象的三個水平，也是從上述四個方面來說明的：

水平素養數學抽象水平一 能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學概念和規則;能夠在特例的基礎上歸納并形成簡單的數學命題;能夠模仿學過的數學方法解決簡單問題.能夠解釋數學概念和規則的含義;了解數學命題的條件與結論;能夠在熟悉的情境中抽象出數學問題.能夠了解用數學語言表達的推理和論證;能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法,體會其中的數學思想.在交流的過程中,結合實際情境解釋相關的抽象概念.水平二 能夠在關聯的情境中抽象出一般的數學概念和規則;能夠將已知數學命題推廣到更一般的情形;能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題.能夠用恰當的例子解釋抽象的數學概念和規則;理解數學命題的條件與結論;能夠理解和構建相關數學知識之間的聯系.能夠理解用數學語言表達的概念、規則、推理和論證;能夠提煉出解決一類問題的數學方法,理解其中的數學思想.在交流的過程中,能夠用一般的概念解釋具體現象.水平三 能夠在綜合的情境中抽象出數學問題,并用恰當的數學語言予以表達;能夠在得到的數學結論基礎上形成新命題;能夠針對具體問題運用或創造數學方法解決問題.能夠通過數學對象、運算或關系理解數學的抽象結構;能夠理解數學結論的一般性;能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系.在現實問題中,能夠把握研究對象的數學特征,并用準確的數學語言予以表達;能夠感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想.在交流的過程中,能夠用數學原理解釋自然現象和社會現象.

水平一是高中畢業應當達到的要求，也是高中數學學業水平考試的命題依據；水平二是高考的要求，也是數學高考的命題依據；水平三是基于必修、選擇性必修和選修課程的某些內容對數學學科核心素養的達成提出的要求，可以作為大學自主招生的參考.

四、高中階段數學抽象的基礎載體

通過解讀數學核心素養可以看出，能力的培育必須要有相應的知識土壤，所以必須明確相應的素養知識與相應的能力載體，這是提升數學核心素養的前提.高中階段數學抽象的基礎載體主要體現在以下幾個方面：集合、函數的概念與性質、三角函數、立體幾何初步、概率、導數及其應用、空間向量與立體幾何、平面解析幾何.

五、數學抽象與其他數學核心素養的關系

最新的《普通高中數學課程標準(實驗)》明確指出：數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的，是具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養有六個：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些數學核心素養各具獨立性，又相互補充、相互交融、相互促進，形成一個有機整體，在不同情境中整體發揮作用.其中前三個素養是數學基本思想，是核心素養中最重要的數學思維品質，后三個素養是傳統的學習數學的關鍵能力和方法.數學抽象是數學的基本思想，位于六大學科素養之首，是其他學科素養的基礎，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中.

六、數學抽象的具體表現

數學以數量關系和空間形式為主要研究對象，而數量關系和空間形式是從現實世界中抽象出來的，我們教學的終極目標恰恰是培養學生具有初步的抽象思維，而不是讓學生的思維水平停留在形象直觀階段，我們每次學習的升華無一不是抽象的過程.數學抽象的具體表現有以下幾個方面：形成數學概念和規則、形成數學命題和模型、形成數學方法與思想、形成數學結構與體系.

案例1：《幾何概型》的引入(形成數學概念和規則)

問題1：拋擲一枚骰子，隨機地拋出一個整數，求這個整數不大于4的概率.(素材起點低、入口寬，易了解學生初步掌握古典概型的情況).

問題2：從區間[1，6]內的所有實數中，隨機地取出一個實數，求這個實數不大于4的概率.(問題2會引發學生認知沖突，直指幾何概型的核心與本質，引發新知的生長點)

問題3：從區間[1，6]內的所有實數中，隨機地取出兩個實數，求這兩個實數的和不大于4的概率.

問題4：半徑為2的小球在邊長為6的正方體內漂移，求小球與正方體表面相切的概率.

后兩個問題在空間與思維上對問題2進行了延伸，既聯系了實際，又激發了學生的學習興趣，讓學生在學習了古典概型的基礎上可以類比地嘗試解決每個問題，但有難度，關鍵的突破口在于如何實現由有限向無限的轉換，可以補充提問：實驗中的基本事件是什么？是等可能的嗎？事件A包含的基本事件有多少？能否用古典概型的公式來解決？

這幾個問題讓學生從長度、面積、體積等三個角度體會到幾何圖形測量的多樣性，為學習幾何概型的概念做了很好的鋪墊，并讓學生從下面幾個方面進行探究：

幾何概型與古典概型有何異同？如何將古典概型中的“有限”上升到幾何概型中的“無限”？如何求幾何概型的概率？

通過不同問題不同角度的探究，有利于深刻理解幾何概型概率計算公式中的不同幾何圖形的維度，讓學生積極融知識于情景中，發揮學生的主體作用.這樣的設計會大大激發學生抽象思維的發展，對數學抽象等素養的提升起到了積極的促進作用.

案例2：利用函數模型培育數學抽象能力(形成數學命題和模型)

問題5：已知f(x)=3x，求證：f(x)·f(y)=f(x+y).(必修一P82).

問題6：試著舉幾個滿足“對定義域內任意實數a,b，都有f(a+b)=f(a)·f(b)”的函數例子，你能說出這些函數具有哪些共同性質嗎？(必修一P75).

問題7：類比問題6滿足(1)“對定義域內任意實數a,b都有f(a)+f(b)=f(a+b)”的函數例子；(2)“對定義域內任意實數a,b，都有f(a·b)=f(a)+f(b)”的函數例子；(必修一P75)(3)“對定義域內任意實數a,b，都有f(a)·f(b)=f(a·b) ”的函數例子.你能說出這些函數具有哪些共同性質呢？

問題5是給出了具體的函數表達式，要求我們利用指數冪運算的特點去解決問題，講解時筆者提醒學生底數3能否換成其他的數，能否換成字母，問題能否倒過來考慮？

然后再將問題5與問題6與7放在一起，讓學生分組討論，然后得出結論，很好地培養了學生從直觀到數學抽象的能力，實際上函數章節中抽象能力的聚焦必須要有一定典型的、相關的函數模型作為載體，加強重要函數模型中相關問題的理解和運用，是提高其抽象能力的一個重要環節，特別是我們在處理課本習題時如果就題論題，是不能培養學生核心素養的.

案例3：多題一解(形成數學方法與思想)

在教學中我們常常采用多題一解的教學策略，其目的就是要引導學生學會從不同的問題中分析歸納并抽象出它們共同的特征的過程，抽象出解題的一般規律，從而達到舉一反三、觸類旁通之效，這樣能減少學生的機械記憶，克服題海戰術，有助于提高學生抽象思維能力和綜合能力.

問題8：求方程x+y+z=10共有多少組正整數解？

問題9：把10個相同的球全部裝入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數不小于其編號數，問有多少種不同的裝法.

問題10：馬路上有10只路燈，為節約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，也不能關掉兩端的燈，那么滿足條件的關燈方法共有多少種？

問題11：已知兩個實數集合A={a1,a2,…,a10}與B={b1,b2,b3}，若從A到B的映射f使得B中每一個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a10)，則這樣的映射共有多少個？

筆者記得當時講解問題8時,盡管考慮了解題過程，也沒有聽說學生不理解，但在不久之后的三次測驗中我們考了問題9、問題10和問題11，效果均不理想，明明這三題的思路和問題8是一樣的，為什么會出現這種情況呢？筆者通過與學生溝通得到的答案是：方法聽得明白，但是一變換語境就想不到如何求解.原來如此！這種處理方式不就是題海戰術的翻版嗎？這充分說明筆者講課時只想到將課講清楚，沒有考慮到學生的想法，所以現在講課時會調整教學策略，將這些題目在一段時間內呈現給學生，引導學生比較問題8至問題11，讓學生明白它們在本質上完全一樣，都可以看成將幾個相同的元素被隔開有幾種方法，引導學生得出隔板法的思想，讓學生充分體會同一數學思想與方法在不同背景下的各種體現，筆者發現這樣的處理加深了學生對數學思想和方法的理解，極大地促進了數學素養與能力的提高，真正讓學生達到了“談題論法”的新高度，真正實現從量變到質變的飛躍.

案例4：《數列》章節復習(形成數學結構與體系)

我們在學習完每一章都要總結，形成數學結構與相應的知識體系，這實際上就是數學抽象，通過抽象概括的過程，認識與掌握所要研究的對象.如學完《數列》，我們可以抽象形成這樣的知識體系：

也可以在大腦里抽象出這樣的知識脈絡：數列的概念(數列的定義、通項公式的定義、數列的函數特征與圖象表示、數列的分類、數列單調性的證明、遞推公式定義)；等差數列的相關知識(等差數列的定義、等差數列的通項公式、等差中項的概念、等差數列的性質、等差數列前n項和公式及其應用)；等比數列的相關知識(等比數列的概念、等比數列的通項公式、等比中項的概念、等比數列的性質、等比數列前n項和公式及其應用)；證明等差與等比數列的方法；數列求和的方法；通項公式的求法；數列與其他知識的交匯；常見數列的思想方法；數列高考題的命題走向與課標要求.