借助幾何直觀模型促進數學建模素養

章國菲

摘 要：《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出將模型作為學生的核心素養。模型思想是數學基本思想之一，模型的產生、發展、形成的過程，是數學知識建立和應用的過程，也是兒童數學學習展開、推進、提升的過程。本文將小學幾何直觀能力發展大致分為四個階段：孕育階段、過渡階段、萌發階段、生長階段。各個階段培養的側重點應有所不同，本文基于小學數學實踐，嘗試對不同水平的建模素養以二年級除法單元教學為例進行解釋探討。

關鍵詞：數學建模；幾何直觀；核心素養

數學核心素養是具有數學基本特征的、適應個人終生發展和社會發展需要的關鍵能力與思維品質。《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出了十大核心詞：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。其中，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。這里的解釋并非嚴格的概念界定，但我們可以從中把握幾個關鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數學問題的方法，它與“直觀幾何”的區別在于，后者是指幾何學中的一個研究領域，主要研究包括認識圖形，進行立體圖形與平面圖形的轉換等內容。其二，“幾何”二字應理解為研究工具，即幾何直觀是借助幾何圖形的形象關系來研究問題的，這就體現了與實物直觀（以實物為直觀工具，如小棒，正方體盒子，茶杯等）的差異。

要想使學生有效建構模型，首先要引導學生從生活原型中提煉出數學模型，并在初步感知模型的基礎上逐步向建構模型過渡。而幾何直觀無疑是幫助學生直接感知模型的有效載體。

環節一：借助幾何直觀，孕育模型

幾何直觀能力的孕育階段主要是指一、二年級。這個階段的兒童以動作思維、形象思維為主，數學學習很大程度上依賴直觀教學。這時的直觀教學主要借助實物、圖片、符號等直觀載體，從嚴格意義上講還不能稱之為幾何直觀，因而適當進行抽象和提煉，由實物、符號直觀逐步向圖形直觀過渡，模型思想主要體現在從實際問題中抽象出數量以及用數量關系解決問題的過程中。

尋找圖形代替實物，表征除法算式的意義。

課件出示情境圖，小朋友們仔細觀察，并引出問題。

提問：觀察主題圖，你知道了哪些信息？

生：要把12個蘋果分成三堆，每堆一樣多。

師：當我們沒有蘋果的時候該怎么辦？可以用什么代替它？如果用圓片，需要幾個圓片，為什么？

生：用圓片，因為蘋果是圓的。要和蘋果的數量一樣多，就是12個。

師：除了圓片，還可以用什么代替？只要怎么樣就可以？

生：用三角形的卡片。數量要和蘋果的數量一樣。

師：請從盒子里拿出你需要的材料來分一分。

以上環節，從幾何直觀的角度看，由實物抽象出數量，并且一一對應。除法在應用時一般出現兩種情況：一種是把一個數按每幾個分成一份，求分成幾份；另一種是把一個數平均分成幾份，求每份是多少。由于問題角度不同，因此引出分的方法也不同，但所分得的每份是均等的，因此建立除法的基本模型是把一些物體進行平均分。

環節二：借助幾何直觀，過渡模型

直觀是對事物的直接判斷，是屬于經驗層面的。從某種意義上來說，幾何直觀就是數學活動經驗不斷積累所形成的數學素養。數學活動經驗主要包括兩類：即實踐的經驗和思維的經驗，兩者都有賴于學生參與數學活動，獲得切身的過程性體驗。這個環節是學生建立數學模型的重要階段。

畫圖表征除法算式的意義

師：同學們，我們已經學過了除法，出示除法算式“18÷6=3”，這道除法算式表示什么意思？你能不能畫圖表示？

（1）學生畫圖表示18÷6=3的意思。

（2）收集學生不同的作品進行展示。

在這一環節中，教師先組織學生完成畫圖，引導學生整體觀察，自主發現畫圖這一解決問題的實用性，又讓學生體會到玩數學、發現數學的樂趣。而通過畫圖表征，可以直觀形象地解釋“等分除”與“包含除”，幫助學生理解除法算式的意義。

練習鞏固環節，筆者選擇了對比練習和題組訓練，讓學生嘗試練習，并在練習的過程中抽概括轉化，靈活運用除法模型，讓學生意識到數學模型的價值，體會形式變，本質不變，從而培養數學模型素養。

學生獨立練習、核對，分析算式表示的意思。教師引導體會解決問題的三步驟：知道了什么？怎么解答？解答正確嗎？不同的練習有不同的定位目標。此題重在對比分析，鞏固平均分的兩種分法，加深對除法算式意義的理解，同時滲透完整的應用解題過程。

題組訓練

（1）猴媽媽給4只小猴分桃子，每只小猴分到6個桃，猴媽媽一共有幾個桃？

（2）猴媽媽有24個桃子，被小猴吃了4個，現在還有幾個桃子？

（3）猴媽媽有24個桃子，平均分給4只小猴，每只小猴分到幾個？

（4）猴媽媽原來有24個桃子，又買來4個桃子，現在有多少個桃子？

學生獨立完成以上的加減乘除一步計算問題，重點分析為什么可以用除法計算。

在以上教學中，教師不僅僅滿足于能正確解決這個問題，而是結合學生的解題思路，用幾何直觀去解決問題。實踐證明，在小學數學規則教學中借助幾何直觀，不僅可以豐富學習材料的呈現方式，提高學生的學習興趣，拓寬學生解決問題的視野，更重要的是通過“式”與“形”的一一對應，以及做實做厚規則教學過程，提升建模素養。

參考文獻

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