一道數學題爭辯引發的思考

杜麗彬

[摘 要]真理都是在爭辯中產生的，真相越辯越明。在數學中，即便是一些看似幼稚可笑的問題，只要揪住疑點不放，展開辯論，總可以從各方的辯詞中發現一些有價值的線索，沿著這些線索，往往可以發現重大價值。

[關鍵詞]數學題;爭辯;思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）08-0027-02

前陣子，筆者參加了一個數學教學研討活動，在小組研討環節，一位教師展示了一道期中考題，并在活動研訓中征集解題的意見。這道題是這樣的：

閱卷時，教師在第（1）問的解法選擇上出現嚴重分歧，有的教師覺得，這臺車從A地行至C地總耗時為4小時，速度應為：160[÷4=40]（千米/時）;有的教師持反對意見，認為小轎車半路駐車1小時，沒有做有用功，也沒有增加里程，這1小時不應算入總時長，于是，行駛時間應該扣減1小時，速度應為：160[÷]3=53[13]（千米/時）;還有的教師中和雙方意見，提出折中處理法：如果駐車時間短就應算在內，如果駐車時間長則忽略不計。各方堅持己見，互不相讓，幾場論戰下來，都找不出令眾人信服的處理方案。

一、關于這道題的爭議

這道題主要是讓學生聯系現實生活情境，整理分析出各個數量的函數關系，從而正確解題。上述爭議題正好是相關內容的應用和延伸。學生觀察示意圖可知，小轎車從A地行至C地耗時4小時，半路駐車1小時，抵達C地后，就地熄火停車2小時，然后啟動折返，耗時2小時。如果學生能夠準確地描述出上述行車情況，則說明教學目標已經完成。

對于第（2）問求解“這臺國產小轎車返程的平均速度”，教師的觀點出奇的一致，即160[÷]（8-6）=80（千米/時）。教師始終對前進時途中駐車的1小時耿耿于懷，到底是算還是不算？這個問題一直盤踞在教師心中。

二、對爭議問題中“1小時”的思考

筆者認為，向前進發時中途停駐的“1小時”不應算在行車時間內。

理由如下：

題目中要求解的是這臺國產小轎車的平均速度，行車平均速度=駕車總行程[÷]行車時長。速度的物理意義是物體在單位時間內通過的路程，如果物體靜止不動，沒有發生移動，也就沒有路程，則可認為沒有速度，也就是速度為0。小轎車在半路停滯不前，這段時間轎車的路程為0，換言之，小轎車在這個時段內沒有前移，那么在這段時間內轎車處于靜止狀態，也就沒有速度，對此中途停駐的“1小時”應除外。

這是一個不值得爭辯的“口水問題”。一位基礎教育專家說過：“在當今的數學教學中，一些‘口水問題大量存在，這些毫無價值的問題會引發一定范圍內的大辯論，而這些辯論幾乎都是白費口舌，是一些上不了臺面的口水仗。”上題中求轎車從A地行至C地的平均速度，就屬于一個“口水問題”。出題者的初衷是想把“看圖找關系”與計算平均速度糅合到一起，但由于設計得不周密，造成學生理解出現障礙，這是某些圖文題設計的通病，看似別致有趣，充滿新意，實則給學生準確捕捉圖形信息制造困難。其實，數學學習的本質是理解基礎概念，滲透基本的數學思想方法。在出題時，教師應該著重彰顯問題的實質內容。

北師大版教材六年級上冊總復習中有一道同類型題，教材的處理就非常巧妙，提問平均速度時，避開停船時間，提問行駛情況時，涉及停船時間，既實現了練習的目標，問題的提法又能直中要害，指向性強，為教師命題提供了很好的范本。題目如下：

12.下面是某艘游艇某日航行路程統計圖。問：

三、爭論后的反思

某道試題激起了業內的軒然大波，問題本身可能不值一提，于是冒出一種聲音，說這個問題是毫無價值的問題，討論這個是吃飽了撐的。這種論調，乍一聽似乎不無道理，話糙理不糙，也確實出現過一些不入流的無聊問題引得大家爭相研究，浪費了無數的時間和心血。若因此就斷定這個是“無聊問題”，也無可厚非，但是具體情況得具體討論，不可胡子眉毛一把抓，一概而論。道理是明擺的，科學上的重大發現都是源自對一些看似無聊透頂的問題的執拗研究而得出的，如“萬有引力”就是牛頓從研究蘋果為什么是落到地上而不是飛向天空而發現的，所以“無聊”的問題有時卻可以發揮巨大能量。

以上題為例，求國產小轎車在某個時段內從A地到B地的平均速度，中間有1個小時因故駐車，這停留的1小時該不該計算在行車時間之內，用于計算小轎車的平均速度。兩種觀點相持不下，各方都有很充足的理由，于是為了平息紛爭，調和矛盾，把槍口對準問題本身，指責這是個“無聊問題”。我們如果心平氣和、實事求是地琢磨這個問題，還是會發現一些有價值的地方，例如小轎車連續不斷地從A地行至B地，時快時慢很正常，路況好、人流少的地段高速行駛，路況不好、人流密集的路段低速行駛;遇到紅燈，停車等待通行，塞車時更需怠速慢行，駕車過程中因為各種客觀因素造成中途停滯非常常見，不能說停車1小時是大事，停半分鐘就算了，歸根結底，解答此類問題要考慮精確度。

若從A地行至B地耗時4小時，中途駐車就白白浪費了3個小時，汽車實際有效行進時間只有1個小時，那么在計算駕駛人的工作效率時就應仍然算作4小時;如果只是針對汽車的性能進行評估，則只能算1小時。若汽車中途只停了10分鐘，其他時間持續行進，各路口紅燈共計超過20分鐘，但是求平均速度時并沒有要求很高的精確度，30分鐘的停止時間照樣可以忽略。

數學本身很純粹，如果放到具體情境中就會變得復雜起來，文中的討論其實并不是無聊的爭論，站的角度不同，立場不同，只要計算不出紕漏，都可以算作正解。我們總是說要建立模型，倡導算法多樣化，這就是一個典型的計算有效行駛時間的簡易模型，這個模型中蘊含不同的理解方式，主要取決于計算的精確度，精確度不同，方法也會不一樣，結果亦五花八門。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 董建勛，劉君.運用數形結合的思想解決初中數學中的行程問題[J].數學學習與研究，2018（18）：119.

[2] 張寅秋，袁俊.基于核心素養的小學習題課建設：以“行程問題”為例[J].教育教學論壇，2018（38）：237-238.

（責編 童 夏）