淺析“類(lèi)比思想”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

肖乾聰

【摘 要】類(lèi)比思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.結(jié)合實(shí)例，闡述了它在概念教學(xué)、公式與定理、系統(tǒng)知識(shí)和解題方法方面的應(yīng)用，旨在呈現(xiàn)類(lèi)比思想在教學(xué)中的作用，希望能給教育工作者提供一定的參考價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】類(lèi)比思想；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】2095-3089（2019）02-0008-02

一、類(lèi)比思想的內(nèi)涵

類(lèi)比思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍使用且高效的思想，實(shí)際上它是一種推理方法，即是根據(jù)兩個(gè)事物之間某些相似的方面，從一個(gè)事物已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，從而獲得另一個(gè)對(duì)象未知的新屬性的一種思維方式和推理方法.將這種方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比推理和歸納總結(jié)的能力，從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。

二、類(lèi)比思想的運(yùn)用

類(lèi)比思想貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，是學(xué)生必須理解和掌握的重要思想之一.其應(yīng)用主要體現(xiàn)在概念教學(xué)、公式定理、系統(tǒng)知識(shí)與解題方法方面[1].

1.巧用“類(lèi)比思想”，促進(jìn)新概念的形成。

概念是研究事物的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.數(shù)學(xué)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也不例外.如若能將類(lèi)比思想融入到數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，從已有的知識(shí)出發(fā)，激發(fā)學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，則能夠有效的增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的熟悉感，更有信心和精力來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí).例如，教師在講授“等比數(shù)列”的概念時(shí)，可以將“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”進(jìn)行類(lèi)比，尋找其異同點(diǎn)，進(jìn)而更好的理解等比數(shù)列的概念.下面是教學(xué)片斷.

師：前面我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，那什么樣的數(shù)列是等差數(shù)列？

生：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示[2].

師：若每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差變成了每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，那這樣的數(shù)列又是什么數(shù)列呢？

……

以上教學(xué)片斷的教學(xué)內(nèi)容主要是講解等比數(shù)列的概念.而等比數(shù)列與等差數(shù)列之間聯(lián)系緊密，教師通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的復(fù)習(xí)，適當(dāng)改變一定的條件，再引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識(shí)進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)兩者之間的異同點(diǎn)從而建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系并形成新的概念.讓學(xué)生親身感受類(lèi)比思想用于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的實(shí)用性與重要性。

2.巧用“類(lèi)比思想”，注重公式定理的推廣。

類(lèi)比思想不僅在概念教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)公式與定理的教學(xué)中也發(fā)揮著重要作用.下面以“勾股定理的再探究”為例展開(kāi)研究。

問(wèn)題背景：如圖1所示，在直角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別a，b，c，為請(qǐng)找出圖1中線段之間的數(shù)量關(guān)系。

類(lèi)比推廣：如圖2所示，在直角四面體D-ABC中，點(diǎn)A，B，C所對(duì)的面積分別為S 1，S 2，S 3，點(diǎn)D所對(duì)的面積為S，請(qǐng)找出圖2中各個(gè)面之間的數(shù)量關(guān)系.

原問(wèn)題考察的是勾股定理（c 2=a 2+b 2），即平面幾何中直角三角形各邊之間的數(shù)量關(guān)系.而推廣題考察的是立體幾何中各個(gè)面之間的數(shù)量關(guān)系，將二者進(jìn)行類(lèi)比，可以發(fā)現(xiàn)直角三角形中角對(duì)應(yīng)的是邊，用長(zhǎng)度刻畫(huà)，直角四面體中角對(duì)應(yīng)的是面，用面積刻畫(huà)，所以不難得出直角四面體中各面積之間的數(shù)量關(guān)系（S 2=S 2 1+S 2 2+S 2 3）.

3.巧用“類(lèi)比思想”，注重知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

類(lèi)比思想在幫助學(xué)生形成系統(tǒng)知識(shí)方面也有較重要的作用.例如，數(shù)列中等比和等差之間的全面類(lèi)比，柱體體積和臺(tái)體體積之間的關(guān)系以及各種幾何體的體積公式之間的類(lèi)比推理.下面以正四棱臺(tái)體積公式為例展開(kāi)探究。

問(wèn)題背景：如圖3所示，已知正四棱臺(tái)ABCD-EFGH，上底邊長(zhǎng)為a，下底邊長(zhǎng)為b，高為h，求正四棱臺(tái)的體積V（學(xué)生已學(xué)過(guò)棱柱，棱錐的體積）

問(wèn)題分析：根據(jù)已知條件，需要求解正四棱臺(tái)的體積，正四棱臺(tái)是正四棱錐切去一個(gè)小的正四棱錐而形成的，學(xué)生目前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)棱錐的體積公式，因此原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)正四棱柱體積之差問(wèn)題，再利用相似三角形等知識(shí)，最終易得正四棱臺(tái)的體積公式為：

V=a 2+ab+b 23h.

對(duì)以上所求得的體積公式，作進(jìn)一步的特殊性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)a→0時(shí)，得到的即是正四棱錐的體積公式；當(dāng)a→b時(shí)，則可以得到正四棱柱的體積公式.這既反映原有知識(shí)與新知識(shí)之間的相容性，又顯現(xiàn)出棱臺(tái)體積公式的一般性，利用逼近的思想，建立起三類(lèi)幾何體之間的聯(lián)系，而且有利于增進(jìn)學(xué)生對(duì)三個(gè)體積公式之間的類(lèi)比記憶，形成系統(tǒng)知識(shí)。

4.巧用“類(lèi)比思想”，拓寬學(xué)生解題思路。

數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，知識(shí)間的聯(lián)系非常緊密，因而在解題方法上有較多的相似之處.新時(shí)代教師的主要任務(wù)是在講解具體的數(shù)學(xué)題時(shí)，能夠提煉出數(shù)學(xué)的思想方法，并有意的將題目類(lèi)似的解題方法放在一起進(jìn)行類(lèi)比，使得學(xué)生能夠?qū)⒏鞣N解題的方法聯(lián)系起來(lái)，這樣有利于拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

高中數(shù)學(xué)試題若含有多個(gè)約束條件，不易求解時(shí)，需要適當(dāng)放寬對(duì)原問(wèn)題的約束條件，充分調(diào)動(dòng)思維的積極性，尋找與原問(wèn)題相類(lèi)似的問(wèn)題，這時(shí)就需要對(duì)原問(wèn)題的特征進(jìn)行認(rèn)真的分析，提取出有用的信息.搜索到類(lèi)比物之后，對(duì)類(lèi)比物進(jìn)行研究并從中得到啟示或方法.然后再增加約束條件，使得這時(shí)研究的問(wèn)題與原問(wèn)題逐次逼近，從而得到解決原問(wèn)題的可行辦法，讓思維經(jīng)歷靜-動(dòng)-靜的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)分散思維與集中思維的有效結(jié)合，從而使得問(wèn)題得以圓滿的解決。

結(jié)束語(yǔ)

類(lèi)比思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要且高效的思想，類(lèi)比思想的運(yùn)用不僅可以提高教學(xué)的質(zhì)量，而且還有利于學(xué)生類(lèi)比推理和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).因此教師在課堂教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)類(lèi)比思想，運(yùn)用類(lèi)比思想.但任何一種數(shù)學(xué)思想方法并不會(huì)孤立存在，要注意類(lèi)比思想與其它數(shù)學(xué)思想方法之間的融合，才能真正有效提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]朱德勤.新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的類(lèi)比思想的運(yùn)用策略[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2012（27）：12-13.

[2]李建華，俞求是，宋莉莉等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5[M].北京：人民教育出版社.